Konstanto de Eŭlero-Mascheroni

En matematiko, konstanto de Eŭlero-Mascheroni (ankaŭ nomata kiel la Eŭlera konstanto) estas matematika konstanto difinita kiel limigo de diferenco inter sumo de harmona serio kaj natura logaritmo:

La konstanto de Eŭlero-Mascheroni egalas al la helblua areo

$\gamma =\lim _{n\to \infty }[(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}})-\ln(n)]=\int _{1}^{\infty }({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x})\,dx$

Ĝi estas kutime skribata per minuskla greka litero gamo γ.

Ĝia proksimuma valoro estas:

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

En deksesuma sistemo ĝi estas proksimume:

γ ≈ 0,93C467E37DB0C7A4D1B...₁₆

Konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas malsama de la eŭlera nombro e, bazo de natura logaritmo.

Historio

La konstanto unue aperis en papero de Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes (Indekso de Eneström 43) de 1735. Eŭlero uzis simbolojn C kaj O por la konstanto. En 1790, itala matematikisto Lorenzo Mascheroni uzis simbolon A por la konstanto. La skribmaniero γ aperas nek en la skribadoj de Eŭlero nek de Mascheroni, kaj estis elektita poste pro ligeco al Γ funkcio.

Aperoj

La konstanto aperas, en multaj lokoj, inter alia en (^† signifas ke ĉi tiu elemento enhavas eksplicitan ekvacion):

• Produto formulo de la Γ funkcio
• Kalkuloj de la digama funkcio
• Neegalaĵo por eŭlera φ funkcio
• La kreskada kurzo de la dividanta funkcio
• Esprimoj kun la eksponenta funkcia integralo
• Laplaca konverto de la natura logaritmo
• La unua termo de la serio de Taylor de la rimana zeta funkcio^†, kie ĝi estas la unua de la konstantoj de Stieltjes^†
• La kalkulo de la konstanto Meissel-Mertens
• La tria el teoremoj de Mertens^†
• Solvaĵo de ekvacio de Bessel de la dua speco

Propraĵoj

La nombro γ ne estas pruvita al esti racionala aŭ neracionala. Ankaŭ, ĝi ne estas pruvita al esti algebra aŭ transcenda.

Ĉenfrakcia analitiko montras ke se γ estas racionala, ĝia denominatoro estas pli granda ol 10²⁴²⁰⁸⁰.

Rilato al Γ funkcio

γ estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:

$\ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1)$

kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:

$\gamma =\lim _{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]$

Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas

$\gamma =\lim _{n\to \infty }[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}]$

Rilato al la zeta funkcio

γ povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:

$\gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}$

$=\ln({\frac {4}{\pi }})+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}$

Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:

$\gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]$

$=\lim _{n\to \infty }[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}})]$

$=\lim _{n\to \infty }[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}})]$

La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de n. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):

$\gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}})=\lim _{s\to 1}(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}})$

kaj

$\gamma =\lim _{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]$

$=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}(\lceil {\frac {n}{k}}\rceil -{\frac {n}{k}})$

Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:

$\gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}$

kie $\zeta (s,k)$ estas la zeta funkcio de Hurwitz;

H_n estas la n-a harmona nombro.

Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon$, kie $0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}$

Integraloj

γ rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:

$\gamma =-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx$

$=-\int _{0}^{1}{\ln \ln({\frac {1}{x}})}\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }{({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}})e^{-x}}\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}({\frac {1}{1+x}}-e^{-x})}\,dx$

Difinitaj integraloj en kiuj γ estas inkluzivata estas:

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

γ rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:

$\gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}).$

Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio

$\ln({\frac {4}{\pi }})=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}})$

Tiel $\ln({\frac {4}{\pi }})$ povas esti konsiderata kiel alterna eŭlera konstanto.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi _Sondow_ 2005 #2)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln({\frac {4}{\pi }})$

kie N₀(n) kaj N₁(n) estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de n.

Serioj

γ rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k}}-\ln(1+{\frac {1}{k}})]$

La serio por γ estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}$.

En 1910, Vacca trovitis similan serion:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+2({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}})+3({\frac {1}{8}}-\dots -{\frac {1}{15}})+\dots$

kie log₂ estas la logaritmo kun bazo 2 kaj $\lfloor \,\rfloor$ estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:

$\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}({\frac {1}{4}}+\dots +{\frac {1}{8}})+{\frac {1}{9}}({\frac {1}{9}}+\dots +{\frac {1}{15}})+\dots$

aŭ

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}({\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {2}{6^{2}}}+{\frac {3}{7^{2}}}+{\frac {4}{8^{2}}})+{\frac {1}{3^{2}}}({\frac {1}{10^{2}}}+\dots +{\frac {6}{15^{2}}})+\dots$

(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):

$\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx$

Ĉenfrakcia elvolvaĵo

La ĉenfrakcio elvolvaĵo de γ estas:

γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]

Tiel

$\gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}$

La ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ enhavas almenaŭ 470000 erojn.

Asimptotaj elvolvaĵoj

Estas jenaj asimptotaj formuloj por γ:

$\gamma \sim H_{n}-\ln(n)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...$

(Eŭlero)

$\gamma \sim H_{n}-\ln({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...})$

(Negoi)

$\gamma \sim H_{n}-{\frac {\ln(n)+\ln({n+1})}{2}}-{\frac {1}{6n({n+1})}}+{\frac {1}{30n^{2}({n+1})^{2}}}-...$

(Cesaro)

kie H_n estas la n-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

e en potenco γ

Bazo de natura logaritmo e en potenco γ, la nombro e^γ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343... estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel γ' .

e^γ egalas al jena limigo, kie p_n estas la n-a primo:

$e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}$

Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al e^γ, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:

${\frac {e^{1+\gamma /2}}{\sqrt {2\,\pi }}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+1/(2\,n)}\,(1+{\frac {1}{n}})^{n}$

${\frac {e^{3+2\gamma }}{2\,\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+2/n}\,(1+{\frac {2}{n}})^{n}$

Ankaŭ:

$e^{\gamma }=({\frac {2}{1}})^{1/2}({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}})^{1/3}({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}})^{1/4}({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}})^{1/5}\cdots$

kie la n-a faktoro estas la (n+1)-a radiko de

$\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}$

Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.

Ĝeneraligoj

Eŭleraj ĝeneraligitaj konstantoj estas

$\gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx],$

por 0 < α < 1, kaj estas γ la okazo de α=1. Ĉi tiu povas esti plui ĝeneraligita al

$c_{f}=\lim _{n\to \infty }[\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx]$

por ajna malkreskanta funkcio f. Se

$f_{n}(x)={\frac {\ln ^{n}x}{x}}$

rezultiĝas konstantoj de Stieltjes, kaj

$f_{a}(x)=x^{-a}$

donas konstantojn

$\gamma _{f_{a}}=\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}$

kie denove aperas la limigo

$\gamma =\lim _{a\to 1}[\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}]$

La du-dimensia limiga ĝeneraligo estas la konstanto de Masser-Gramain.

Sciataj ciferoj

Eŭlero komence kalkulis la valoron kun 6 dekumaj ciferoj. En 1781, li kalkulis ĝin kun 16 dekumaj ciferoj. Mascheroni provis kalkuli kun 32 dekumaj ciferoj, sed faris erarojn en la 20...22-aj ciferoj. (startanta de la 20-a cifero, lia rezulto estas 1811209008239 la korekta valoro estas 0651209008240.)

Poste pli rapidaj komputiloj kaj algoritmoj permesis kalkuli la nombron kun pli multaj ciferoj de precizeco.

Dato	Kvanto de sciataj ciferoj	Kalkulado de
1734	5	Leonhard Euler
1736	15	Leonhard Euler
1790	19	Lorenzo Mascheroni
1809	24	Johann Georg von Soldner
1812	40	F.B.G. Nicolai
1861	41	Oettinger
1869	59	William Shanks
1871	110	William Shanks
1878	263	John Couch Adams
1962	1271	Donald E. Knuth
1962	3566	D.W. Sweeney
1977	20700	Richard P. Brent
1980	30100	Richard P. Brent kaj Edwin M. McMillan
1993	172000	Jonathan Borwein
1997	1000000	Thomas Papanikolaou
Decembro 1998	7286255	Xavier Gourdon
Oktobro 1999	108 000 000	Xavier Gourdon & Patrick Demichel
16-a de julio de 2006	2 000 000 000	Shigeru Kondo
8-a de decembro, 2006	116 580 041	Aleksander J. Yee
15-a de julio, 2007	5 000 000 000	Shigeru Kondo (pretendis)
1-a de januaro, 2008	1 001 262 777	Richard B. Kreckel (pretendis)
3-a de januaro, 2008	131 151 000	Nicholas D. Farrer (pretendis)

Eksteraj ligiloj

• A001620 en OEIS - γ
• A002852 en OEIS - ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ
• Eric W. Weisstein, Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en MathWorld.
• Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). “Computational Strategies for the Riemann Zeta Function - Komputaj strategioj por la rimana zeta funkcio”, Journal of Computational and Applied Mathematics - Ĵurnalo de komputa kaj aplika matematiko 121, p. p.11.  γ derivata kiel sumoj de rimana zeta funkcio.
• Jonathan Sondow (1998) [1] Arkivigite je 2006-08-08 per la retarkivo Wayback Machine Malsimetria formulo por eŭlera konstanto Matematika Revuo 71: 219-220.
• Jonathan Sondow (2002) [2] Supergeometria proksimiĝo tra lineara formoj engaĝante logaritmojn al neracionalecaj kriterioj por eŭlera konstanto. Kun apendico de Sergey Zlobin Arkivigite je 2013-05-23 per la retarkivo Wayback Machine
• Jonathan Sondow (2003) [3] Malfinio produto por e^γ tra supergeometriaj formuloj por eŭlera konstanto γ
• Jonathan Sondow (2003a) [4] Kriterioj por neracionaleco de Eŭlera konstanto. Paperoj de la Amerika Matematika Socio 131: 3335-3344.
• Jonathan Sondow (2005) "[5] Duopaj integraloj por Eŭlera konstanto kaj ln 4/π kaj analoga de _Hadjicostas_'s formulo. Amerika Matematika Monate 112: 61-65.
• Jonathan Sondow (2005) [6] Nova Vacca-speca racionala serio por Eŭlera konstanto kaj ĝia alterna analogo ln 4/π
• Jonathan Sondow kaj Wadim Zudilin, [7] Eŭlera konstanto, q-logaritmoj, kaj formuloj de ramanujan kaj Gosper. Ramanujan J. (al aperi).
• Gourdon, Xavier kaj Sebah, P. (2002) [8] Kolekto de formuloj por eŭlera konstanto γ
• Gourdon, Xavier kaj Sebah, P (2004) [9] La eŭlera konstanto γ.
• [10] Arkivigite je 2008-10-12 per la retarkivo Wayback Machine Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en Biblioteko de Mathcad.
• Krämer, Stefan [11] Arkivigite je 2013-10-17 per la retarkivo Wayback Machine Eŭlera konstanto γ=0,577..., ĝia matematiko kaj historio
• Jonathan Sondow Arkivigite je 2007-12-10 per la retarkivo Wayback Machine