Listo de regulaj hiperpluredroj

Ĉi tio estas listo de la regulaj hiperpluredroj en eŭklida, sfera kaj hiperbola spacoj.

La simbolo de Schläfli priskribas ĉiun regulan hiperpluredron kaj estas uzata kiel referenca nomo por ĉiu hiperpluredro.

La regulaj hiperpluredroj estas grupitaj laŭ dimensio kaj subgrupitaj je konveksaj, nekonveksaj kaj malfiniaj formoj. La nekonveksaj formoj uzas la samajn verticojn kiel la konveksaj formoj, sed havas sekcantajn facetojn. Malfiniaj formoj kahelas spacon de dimensio je 1 pli malgranda.

Malfiniaj formoj povas kaheli eŭklidan aŭ hiperbolan spacon. Hiperbola spaco similas al normala spaco je malgranda skalo, sed paraleloj diverĝas je grandaj distancoj. Ĉi tio permesas al verticaj figuroj havi negativan angulan difekton.

Ekzemple povas esti vertico kun 7 egallateraj trianguloj kiuj kuŝas en la hiperbola ebeno. Ĉi tio ne povas esti farita en regula ebeno.

Kvantoj de regulaj hiperpluredroj en diversaj dimensioj

Dimensio	Konveksaj hiperpluredroj	Nekonveksaj hiperpluredroj	Konveksaj eŭklidaj kahelaroj	Konveksaj hiperbolaj kahelaroj	Nekonveksaj hiperbolaj kahelaroj
2	∞ konveksaj regulaj plurlateroj	∞ regulaj stelaj plurlateroj	1	1
3	5 platonaj solidoj	4 solidoj de Keplero-Poinsot	3 kahelaroj	∞	∞
4	6 konveksaj regulaj plurĉeloj	10 plurĉeloj de Schläfli-Hess	1 kahelaro	4	0
5	3 konveksaj regulaj 5-hiperpluredroj	0 nekonveksaj regulaj 5-hiperpluredroj	3 kahelaroj	5	4
6+	3	0	1	0	0

2-dimensiaj regulaj hiperpluredroj

La du dimensiaj hiperpluredroj estas nomataj kiel plurlateroj. Regulaj plurlateroj estas egallateraj kaj ciklaj.

Estadas regulaj konveksaj plurlateroj kaj nekonveksaj stelaj plurlateroj. Stelaj plurlateroj uzas la samajn verticojn kiel la konveksaj formoj, sed trakonektas ilin en alternaj ordoj kun kelkaj pasoj ĉirkaŭ la cirklo.

3-dimensiaj regulaj hiperpluredroj

En 3 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel pluredroj:

Regula pluredro kun simbolo de Schläfli {p,q} havas regulan edron de speco {p} kaj regulan vertican figuron {q}.

Vertica figuro de pluredro estas plurlatero, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj pluredroj ĉi tiu vertica figuro estas ĉiam regula ebena plurlatero.

Ekzisto de regula pluredro {p,q} estas limigita de neegalaĵo, rilatanta al angula difekto de ;a vertica figuro:

1/p + 1/q > 1/2 : kahelaro de 2-sfero aŭ respektiva pluredro (ekzistanta en eŭklida 3-spaco)
1/p + 1/q = 1/2 : eŭklida ebena kahelaro
1/p + 1/q < 1/2 : hiperbola ebena kahelaro

Per listigo de la permutoj, oni trovas 5 konveksajn formojn, 4 nekonveksajn formojn kaj 3 ebenajn kaheladojn. La valoroj p kaj q estas limigitaj al tiuj de opo 3, 4, 5, 5/2, 6.

Ekzistas malfinia aro de regulaj hiperbolaj kahelaroj por pli grandaj p kaj q.

4-dimensiaj regulaj hiperpluredroj

En 4 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel plurĉeloj:

Regulaj plurĉeloj kun simbolo de Schläfli simbolo {p,q,r} havas ĉelojn de speco {p,q}, edrojn de speco {p}, laterajn figurojn {r} kaj verticajn figurojn {q,r}.

Vertica figuro de plurĉelo estas pluredro, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu vertica figuro estas regula pluredro.

Latera figuro de plurĉelo estas plurlatero, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu latera figuro estas regula plurlatero.

Ekzisto de regula plurĉelo {p,q,r} estas limigita per ekzisto de regulaj pluredroj {p,q} kaj {q,r}.

Speco de plurĉelo dependas de ĉi tiu valoro:

$\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)$
- > 0 : kahelaro de 3-sfero aŭ respektiva plurĉelo en 4-spaco
- = 0 : eŭklida 3-spaca kahelaro
- < 0 : hiperbola 3-spaca kahelaro

Ĉi tiuj limigoj donas 21 formojn: 6 estas konveksa, 10 estas nekonveksa, 1 estas eŭklida 3-spaca kahelaro, 4 estas hiperbolaj 3-spacaj kahelaroj.

La eŭlera karakterizo χ por plurĉeloj estas

χ = V+E-L-C

kie V estas kvanto de verticoj

E estas kvanto de edroj

L estas kvanto de lateroj

C estas kvanto de ĉeloj

kaj estas nulo por ĉiuj formoj

5-dimensiaj regulaj hiperpluredroj

En 5 dimensioj, regula hiperpluredro povas esti priskribata kiel {p,q,r,s} kie {p,q,r} estas speco de la hiperĉeloj, {p,q} estas speco de la ĉeloj, {p} estas speco de la edroj, {s} estas la edra figuro, {r,s} estas la randa figuro, {q,r,s} estas la vertica figuro.

Vertica figuro de 5-hiperpluredro estas plurĉelo, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico.

Latera figuro de 5-hiperpluredro estas pluredro, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero.

Edra figuro de 5-hiperpluredro estas plurlatero, donanta la ordigon de ĉeloj ĉirkaŭ edro.

Regula hiperpluredro {p,q,r,s} ekzistas nur se {p,q,r} kaj {q,r,s} estas regulaj plurĉeloj.

Speco de 5-hiperpluredro dependas de ĉi tiu valoro:

${\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}$
- < 1 : kahelaro de 4-sfero aŭ respektiva 5-hiperpluredro
- = 1 : eŭklida 4-spaca kahelaro
- > 1 : hiperbola 4-spaca kahelaro

Do ekzistas 3 konveksaj 5-hiperpluredroj, 0 nekonveksaj hiperpluredroj, 3 eŭklidaj 4-spacaj kahelaroj, 5 hiperbolaj 4-spacaj kahelaroj.

Konveksaj regulaj hiperpluredroj

2 dimensioj

Ekzistas malfinia aro de konveksaj regulaj plurlateroj estas. Simbolo de Schläfli {p} prezentas regulan p-plurlateron.

Nomo	Simbolo de Schläfli {p}
Dulatero	{2}
Egallatera triangulo	{3}
Kvadrato	{4}
Kvinlatero	{5}
Seslatero	{6}
Seplatero	{7}
Oklatero	{8}
Naŭlatero	{9}
Deklatero	{10}
Dekunulatero	{11}
Dekdulatero	{12}
...n-plurlatero	{n}
Malfiniolatero	{∞}

{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}	{9}	{10}	{11}	{12}

Dulatero {2} povas esti konsiderata kiel degenera regula plurlatero.

3 dimensioj

La konveksaj regulaj pluredroj estas nomataj kiel platonaj solidoj, ili estas 5.

Nomo	Simbolo de Schläfli {p,q}	Edroj {p}	Lateroj	Verticoj {q}	χ	Simetrio	Duala pluredro
Kvaredro	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	2	T_d	Mem-duala
Kubo (sesedro)	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	2	O_h	Okedro
Okedro	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	2	O_h	Kubo
Dekduedro	{5,3}	12 {5}	30	20 {3}	2	I_h	Dudekedro
Dudekedro	{3,5}	20 {3}	30	12 {5}	2	I_h	Dekduedro

{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}

En sfera geometrio, duvertica pluredro {2,n} kaj duedro {n,2} estas kahelaroj de la 2-sfero kaj povas esti konsiderataj kiel degeneraj regulaj pluredroj .

4 dimensioj

Ekzistas 6 konveksaj regulaj plurĉeloj.

Nomo	Simbolo de Schläfli {p,q,r}	Ĉeloj {p,q}	Edroj {p}	Latera figuro {r}	Vertica figuro {q,r}	Duala {r,q,p}
5-ĉelo	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	Mem-duala
8-ĉelo (4-hiperkubo)	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16-ĉelo
16-ĉelo	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	8-ĉelo
24-ĉelo	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	Mem-duala
120-ĉelo	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600-ĉelo
600-ĉelo	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120-ĉelo

5-ĉelo	8-ĉelo	16-ĉelo	24-ĉelo	120-ĉelo	600-ĉelo
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Latera framo en orta projekcio
				Dosiero:Cell120-4dpolytope.gif
Solido en orta projekcio (ĉelo-centrita)
kvaredra koverto	kuba koverto	okedra koverto	kubokedra koverto	senpintigita romba tridekedra koverto	kvinpiramidigita dekduedra koverto
Latera framo de figuro de Schlegel (perspektiva projekcio)
(Ĉelo-centrita)	(Ĉelo-centrita)	(Ĉelo-centrita)	(Ĉelo-centrita)	(Ĉelo-centrita)	(Vertico-centrita)
Latera framo (hipersfera)

5 dimensioj

Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.

Nomo	Simbolo de Schläfli {p,q,r,s}	Facetoj {p,q,r}	Ĉeloj {p,q}	Edroj {p}	Lateroj	Verticoj	Edra figuro {s}	Latera figuro {r,s}	Vertica figuro {q,r,s}	Duala hiperpluredro
5-simplaĵo	{3,3,3,3}	6{3,3,3}	15{3,3}	20{3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}	Mem-duala
5-hiperkubo	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}	5-kruco-hiperpluredro
5-kruco-hiperpluredro	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}	5-hiperkubo

Pli multaj dimensioj

Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.

Nomo	Simbolo de Schläfli {p₁,p₂,...,p_n-1}	Faceta speco	Vertica figuro	Duala hiperpluredro
n-simplaĵo	{3,3,3,...,3}	{3,3,...,3}	{3,3,...,3}	Mem-duala
n-hiperkubo	{4,3,3,...,3}	{4,3,...,3}	{3,3,...,3}	n-kruco-hiperpluredro
n-kruco-hiperpluredro	{3,...,3,3,4}	{3,...,3,3}	{3,...,3,4}	n-hiperkubo