Praktika nombro

En matematiko, praktika nombro estas pozitiva entjero n tia, ke ĉiuj pli malgrandaj pozitivaj entjeroj povas esti prezentitaj kiel sumoj de diversaj divizoroj de n. Ekzemple, 12 estas praktika nombro ĉar ĉiuj nombroj ekde 1 ĝis 11 povas esti esprimitaj kiel sumoj de ĝiaj divizoroj 1, 2, 3, 4, kaj 6 (aŭ mem estas tiuj divizoroj): 5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, kaj 11=6+3+2. Ĉiu para perfekta nombro kaj ĉiu nenegativa entjera potenco de 2 estas praktika nombro.

La unuaj praktikaj nombroj estas 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ...

Praktikajn nombrojn uzis Fibonacci en sia verko Liber Abaci (1202) lige kun la problemo de prezentado de racionalaj nombroj kiel egiptaj frakcioj. Fibonacci ne difinis praktikajn nombrojn formale, sed li donis tabelon de egiptaj frakciaj elvolvaĵoj por frakcioj kun praktikaj denominatoroj (Sigler 2002). Ŝajnas, ke en la modernan matematikan literaturon praktikajn nombrojn enkondukis Srinivasan (1948).

Karakterizado de praktikaj nombroj

Kiel montris Stewart (1954), estas simple determini ĉu nombro estas praktika de ĝia prima faktorigo. Pozitiva entjero $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ kun $n>1$ kaj $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ primoj estas praktika se kaj nur se $p_{1}=2$ kaj por $i=2,\dots ,k$

p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},

kie σ(n) estas la dividanta funkcio (la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n).

En unu direkto, ĉi tiu kondiĉo estas klare necesa por ke kapabli prezenti na $p_{i}-1$ kiel sumo de divizoroj de n. En la alia direkto, la kondiĉo estas sufiĉa, ĉar povas esti montrita per indukto. Pli forte, eblas montri ke, se la faktorigo de n verigas la kondiĉon pli supre, do ĉiu $m\leq \sigma (n)$ povas esti prezentita kiel sumo de divizoroj de n, per jenaj ŝtupoj:

Estu $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}$ , kaj estu $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}$ .
Pro tio ke $q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})$ kaj $n/p_{k}^{\alpha _{k}}$ povas esti montrite per indukto al esti praktikaj, oni povas trovi prezenton de q kiel sumo de divizoroj de $n/p_{k}^{\alpha _{k}}$ .
Pro tio ke $r\leq \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})$ , kaj pro tio ke $n/p_{k}$ povas esti montrita per indukto al esti praktika, oni povas trovi prezenton de r kiel sumo de divizoroj de $n/p_{k}$ .
La divizoroj prezentantaj na r, kaj ankaŭ $p_{k}^{\alpha _{k}}$ fojoj ĉiu el la divizoroj prezentantaj na q, kune formas prezenton de m kiel sumo de divizoroj de n.

Ekzemple, 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40, kaj 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171, tiel 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 estas praktika.

Analogoj kun primoj

Unu kaŭzo por intereso je praktikaj nombroj estas tio, ke multaj iliaj propraĵoj estas similaj al propraĵoj de la primoj. Ekzemple, se p(x) estas la numeriga funkcio de praktikaj nombroj, kio estas, la kvanto de praktikaj nombroj ne superantaj na x, Saias (1997) pruvis ke por taŭgaj konstantoj c₁ kaj c₂:

$c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},$

formulo kiu similas la prima teoremo. Konjekto de Margenstern (1991) estas ke p(x) estas asimptota al $cx/\log x$ por iu konstanto c.

Teoremoj analogaj al konjekto de Goldbach kaj la ĝemela prima konjekto estas ankaŭ konata pro praktikaj nombroj: ĉiu pozitiva para entjero estas sumo de du praktikaj nombroj, kaj ekzistas malfinie multaj triopoj de praktikaj nombroj x-2,x,x+2 (Melfi 1996). Melfi ankaŭ montris ke estas malfinie multaj praktika fibonaĉi-nombroj; la analoga demando de la ekzisto de malfinie multaj fibonaĉi-primoj estas malfermita. Hausman kaj Shapiro (1984) montris ke ĉiam ekzistas praktika nombro en la intervalo [x²,(x+1)²] por ĉiu pozitiva reela) x, rezulto analoga al konjekto de Legendre por primoj.

Praktikaj nombroj kaj egiptaj frakcioj

Se n estas praktika, tiam ĉiu racionala nombro de la formo m/n povas esti prezentita kiel sumo ∑d_i/n kie ĉiu d_i estas diversa dividanto de n. Ĉiu termo en ĉi tiu sumo plisimpliĝas al ono, tiel ĉi tia sumo provizas prezenton de m/n kiel egipta frakcio. Ekzemple,

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci, en lia libro Liber Abaci de 1202 (Sigler, 2002) listas kelkajn manierojn por trovi egiptajn frakciajn prezentojn de racionala nombro. De ĉi tiuj, la unua estas provo ĉu la nombro estas jam ono, sed la dua estas serĉi por prezento de la numeratoro kiel sumo de divizoroj de la denominatoro, kiel estas priskribita pli supre; ĉi tiu maniero estas nur garantias sukceson por denominatoroj kiuj estas praktikaj. Fibonacci provizas tabelojn de ĉi tiuj prezentoj por frakcioj havanta kiel denominatoroj la praktikajn nombrojn 6, 8, 12, 20, 24, 60, kaj 100.

Referencoj

Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N. (1984). “On practical numbers - Sur praktikaj nombroj”, Communications on Pure and Applied Mathematics - Komunikadoj sur pura kaj aplika matematiko 37 (5), p. 705–713. MathSciNet0752596.
Margenstern, Maurice (1991). “Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures”, Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 37 (1), p. 1–36. doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8. MathSciNet1089787.
Giuseppe Melfi (1996). “On two conjectures about practical numbers - Sur du konjektoj pri praktikaj nombroj”, Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 56 (1), p. 205–210. doi:10.1006/jnth.1996.0012. MathSciNet1370203.
Saias, Eric (1997). “Entiers à diviseurs denses, I”, Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 62 (1), p. 163–191. doi:10.1006/jnth.1997.2057. MathSciNet1430008.
Sigler, Laurence E. (trans.). (2002) Fibonacci's Liber Abaci - Liber Abaci de Fibonacci. Springer-Verlag, p. 119–121. ISBN 0-387-95419-8.
Srinivasan, A. K. (1948). “Practical numbers - Praktikaj nombroj”, Current Science - Aktuala scienco 17, p. 179–180. MathSciNet0027799.
Stewart, B. M. (1954). “Sums of distinct divisors. - Sumoj de diversaj divizoroj.”, American Journal of Mathematics - Amerika ĵurnalo de matematiko 76, p. 779–785. MathSciNet0064800.

Eksteraj ligiloj

A005153 en OEIS - vico de praktikaj nombroj
A124105 en OEIS- praktikaj fibonaĉi-nombroj
Tabeloj de praktikaj nombroj Arkivigite je 2017-12-26 per la retarkivo Wayback Machine de Giuseppe Melfi
Praktika nombro en PlanetMath.
Eric W. Weisstein, Praktika nombro en MathWorld.