Primofaktorialo

En matematiko, primofaktorialo estas produto de la unuaj primoj.

p_n# kiel funkcio de n, grafike prezentita logarifme.

n# kiel funkcio de n (ruĝaj punktoj), komparare al n!. Ambaŭ grafikaĵoj estas logaritmaj.

La primofaktorialo havas du similajn sed malsamajn signifojn.

La nomo estas konstruita el la vortoj primo kaj faktorialo.

n#

n# por n≥1 estas difinita kiel produto de ĉiuj primoj, kiuj estas ne pli grandaj ol n.

La vico ankaŭ inkluzivas 1# = 1 kiel malplenan produton.

La ekvivalenta rikura difino estas

$n\#={\begin{cases}1&n=1\\n\times ((n-1)\#)&n>1\And n{\text{ estas primo }}\\(n-1)\#&n>1\And n{\text{ estas komponigita }}\end{cases}}$

La unuaj primofaktorialoj n# por n=1, 2, 3 ... 12 estas:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Ĉiu elemento de tiu ĉi vico por neprima n estas sama kiel la antaŭa elemento.

Ekzemple, 7# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 7:

7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

8# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 8:

8# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kio egalas al 7#. Ankaŭ 9# kaj 10# havas la saman valoron, sed

11# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

p_n#

Se p_n estas la n-a primo, do la primofaktorialo p_n# estas produto de la unuaj n primoj:

$p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}$

La unuaj kelkaj primofaktorialoj p_n# estas:

1, 2, 6, 30, 210, 2310

La vico ankaŭ inkluzivas p₀# = 1 kiel malplena produto.

Ekzemple, p₄# estas produto de la unuaj 4 primoj:

p₄# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kaj, p₅# estas produto de la unuaj 5 primoj:

p₄# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

Propraĵoj

Estas idento

$n\#=p_{\pi (n)}\#$

kie, π(n) estas la primo-kalkulanta funkcio, donanta kvanton de primoj ne pli grandaj ol n.

Natura logaritmo de primofaktorialo log (n#) estas la unua funkcio de Ĉebiŝev, skribata kiel $\theta (n)$ aŭ $\vartheta (n)$, kiu proksimiĝas al lineara n por granda n. Tiel asimptote primofaktorialo n# kreskas kiel:

$\log(n\#)\sim n$

aŭ pli konkrete

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n\#)}{n}}=1$

Asimptote primofaktorialo p_n# kreskas kiel:

$p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]$

kie exp (x) = e^x estas la eksponenta funkcio kaj "o" estas la malgranda o.

Ĉiu alte komponigita nombro estas produto de primofaktorialoj (ekzemple 360 = 2·6·30).

Ĉiu valoro de primofaktorialo kvadrato-libera entjero kaj havas pli multajn malsamajn primajn faktorojn ol ĉiu nombro pli malgranda ol ĝi. Por ĉiu valoro primofaktorialo n#, la frakcio φ(n#)/(n#) estas pli malgranda ol φ(x)/x por ĉiu entjero x, x<n#, kie φ estas la eŭlera φ funkcio.

Ĉiu plene multiplika funkcio estas difinita per ĝiaj valoroj je primofaktorialoj, pro tio ke ĝi estas difinita per ĝiaj valoroj je primoj, kiuj povas esti rekalkulitaj per divido de najbaraj valoroj je primofaktorialoj.

Primofaktorialoj raperas en la serĉoj de primoj en aritmetikaj vicoj. Ekzemple, 2236133941 + 23# estas primo komenca en vico de 13 primoj, trovataj per sinsekva adicio de 23#, kaj finiĝanta kun 5136341251. 23# estas ankaŭ la komuna diferenco en aritmetikaj vicoj de 15 kaj 16 primoj.

Tabelo de primofaktorialoj

n	n#	pn	pn#
0			1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

Vidu ankaŭ

• Primofaktoriala primo
• Faktorialo
• Eŭlera φ funkcio
• Primo-kalkulanta funkcio

Eksteraj ligiloj

Eric W. Weisstein, Primofaktorialo en MathWorld. A034386 en OEIS n# A002110 en OEIS p_n# A000720 en OEIS primo-kalkulanta funkcio π(n) Eric W. Weisstein, Funkcioj de Ĉebiŝev en MathWorld.