Vektora kalkulo

Vektora kalkulo aŭ vektora analitiko estas kampo de multvariabla kalkulo de matematiko koncernanta multvariablajn reelajn vektorojn en ena produto spaco de du aŭ pli multaj dimensioj. Ĝi havas iujn formulojn kaj teknikojn por solvado de problemoj, utilaj por inĝenierado kaj fiziko.

Vektora kalkulo koncernas skalarajn kampojn, kiuj asocias skalaron al ĉiu punkto de spaco, kaj vektorajn kampojn, kiu asocias vektoron al ĉiu punkto de spaco. Ekzemple, temperaturo en ĉambro povas esti priskribita per skalara kampo: al ĉiu punkto estas asociita skalara valoro de temperaturo. La aera fluo en la sama ĉambro povas esti priskribita per vektora kampo: al ĉiu punkto estas asociita vektora rapido de la aero.

Vektoraj operacioj

Vektora kalkulo studas diversajn diferencialajn operatorojn difinitajn sur skalaraj aŭ vektoraj kampoj. La kvar plej gravaj operacioj en vektora kalkulo estas:

Operacio	Skribmaniero	Priskribo	Fonta kampo	Rezulta kampo
Gradiento	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Mezuras la kurzon kaj direkton de ŝanĝo de skalara kampo.	Skalara	Vektora
Diverĝenco	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Mezuras la densecon de fontoj de fluo je donita punkto en vektora kampo.	Vektora	Skalara
Kirlo	$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$ (kutime uzataj nur en 3 dimensioj)	Mezuras la turnecon ĉirkaŭ punkto en vektora kampo, aplikebla nur en 2 dimensioj kaj en 3 dimensioj.	Vektora	Skalara en 2 dimensioj, vektora en 3 dimensioj
Laplaca operatoro	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Komponaĵo de la diverĝenco kaj gradiento.	Skalara	Skalara

Ĉi ĉiuj operacioj povas esti esprimitaj per la nabla operatoro $\nabla$.

Kirlo en 2 dimensioj estas ne tre kutima. Se aldoni la 3-an dimension, tiam la kirlo estas vektoro ĉiam orta al la fonta 2-dimensia ebeno, tiel la kirlo havas nur unu nenulan koordinaton, la 3-an. Ĉi tiu la 3-a koordinato de kirlo povas efike esti konsiderata kiel skalara kampo sur la ebeno.

Jakobia matrico estas utila por studi funkciojn kies ambaŭ argumento kaj rezulto estas multvariablaj.

Teoremoj

Estas kelkaj gravaj teoremoj pri ĉi tiuj operatoroj kiuj ĝeneraligas la fundamentan teoremon de kalkulo al pli altaj dimensioj:

Teoremo	Formulo	Priskribo
Gradienta teoremo	$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r}$	La kurba integralo de gradiento de skalara kampo φ(r) egalas al diferenco de valoroj de la skalara kampo je la finaj punktoj de la kurbo de la integralado.
Teoremo de Green	$\int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	La integralo de la skalara kirlo de 2-dimensia vektora kampo (L(x, y), M(x, y)) tra regiono D en la ebeno egalas la kurba integralo de la vektora kampo super la kurbo C baranta la regionon. La kurbo devas havi kontraŭhorloĝnadlan direkton.
Teoremo de Kelvino-Stokes	$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	La integralo de la kirlo de vektora kampo F(r) super surfaco Σ egalas al kurba integralo de la vektora kampo super la kurbo $\partial \Sigma$ baranta la surfacon.
Diverĝenca teoremo	$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	La integralo de la diverĝenco de vektora kampo F(r) tra iu solido V egalas al la surfaca integralo de la fluo tra la surfaco $\partial V$ baranta la solidon, kie S estas normala vektoro al la surfaca ero.

Uzo de kirlo povas postuli la dekstrecon de la koordinatsistemo, vidu ankaŭ en vektora produto kaj pseŭdovektoro.

Vidu ankaŭ

• Multvariabla kalkulo
• Parta derivaĵo
• Operacioj en vektora kalkulo
• Senkirla vektora kampo
• Solenoida vektora kampo
• Laplaca operatora vektora kampo
• Pseŭdovektoro
• Skalara produto
• Vektora produto
• Vektoraj identoj

Eksteraj ligiloj

• Vektora analitiko - lernolibro por studentoj de matematiko kaj fiziko, bazita sur la prelegoj de Willard Gibbs, de Edwin Bidwell Wilson, publikigita en 1902
• Chen-Al Tai (1995). Historia studo de vektora analitiko. Teknika raporto RL 915, Radiada laboratorio, Universitato de Miĉigano.
• Elvolvado de vektora analitiko al ne-perpendikulara spaco Arkivigite je 2009-09-12 per la retarkivo Wayback Machine
• Michael J. Crowe. (1994) A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System - Historio de vektora analitiko : La evoluo de la ideo de vektora sistemo. Dover Publications; Represa redakcio. ISBN 0-486-67910-1. (Enkonduko)