Ekvivalentrilato

En matematiko, ekvivalent(o)rilato estas duvalenta rilato inter du elementoj de aro, kiu grupigas ilin kune kiel ekvivalentaj en iu senco. Estu a kaj b elementoj de iu aro X. Tiam, notacie, "a ~ b" aŭ "a ≡ b" signifas, ke a estas ekvivalenta al b.

Difino

Ekvivalentrilato estas duvalenta rilato, kiu estas:

Refleksiva - por ĉiu a, a ~ a.
Simetria - por ĉiuj a, b, se a ~ b, tiam b ~ a.
Transitiva - por ĉiuj a, b, c, se a ~ b kaj b ~ c, tiam a ~ c.

La ekvivalentklaso de elemento a sub ekvivalentrilato "~" sur aro X (notacie: [a]) aŭ, pli precize, [a]_~, estas la subaro de X konsistanta el ĉiuj elementoj x $\in$ X tiaj, ke x ~ a.

Ekzemploj de ekvivalentrilatoj

Egaleco ("=").
"Havas la saman bildon sub funkcio" sur la elementoj de la fonta aro (aŭ de la malbildo) de la funkcio, a ~ b se kaj nur se f(a) = f(b).
Estu a, b, c, d entjeroj tiaj, ke b ≠ 0, d ≠ 0, kaj (a, b) kaj (c, d) ordaj duopoj de la nombroj, respektivaj al racionalaj nombroj a/b kaj c/d. Tiam la rilato de egaleco de la nombroj a/b = c/d estas ekvivalenta al la ekvivalentrilato de la ordaj duopoj difinita jene: (a, b) ~ (c, d), se kaj nur se ad = bc.
Estu (r_n) kaj (s_n) du koŝiaj vicoj de racionalaj nombroj. La reelaj nombroj difinataj per la koŝiaj vicoj, estas la ekvivalentklasoj de la rilato (r_n) ~ (s_n), se la vico (r_n - s_n) havas limeson 0.
Logika ekvivalenteco propozicioj en matematika logiko.
"Estas simila al" (aŭ "kongrua al") sur la aro de ĉiuj trianguloj.
"Estas kongrua al module n" sur la entjeroj.
"Estas paralela al" sur la aro de subspacoj de la sama dimensio de afina spaco.

Ekzemploj de rilatoj, kiuj ne estas ekvivalentrilatoj

La rilato "≥" inter reelaj nombroj estas refleksiva kaj transitiva, sed ne simetria, a ≥ b ne implicas ke b ≥ a.
La rilato "estas proksimume egala al" inter reelaj nombroj, ekzemple difinita kiel a ~ b se kaj nur se |a-b|<C por donita konstanto C, ne estas ekvivalentrilato, ĉar kvankam ĝi estas refleksiva kaj simetria, ĝi estas ne transitiva pro tio ke multaj malgrandaj ŝanĝoj povas akumuliĝi kaj kune esti tro grandaj.
La rilato "havas komunan faktoron pli grandan ol 1 kun" inter entjeroj pli grandaj ol 1, estas refleksiva kaj simetria, sed ne transitiva. Ekzemple 2 kaj 6 havas komunan faktoron pli granda ol 1, kaj 6 kaj 3 havas komunan faktoron pli granda ol 1, sed 2 kaj 3 ne havas komunan faktoron pli granda ol 1).
"Estas paralela al" sur la aro de subspacoj de afina spaco estas refleksiva kaj simetria, sed ne transitiva. Se ebeno a estas paralela al rekto b kaj rekto b estas paralela al ebeno c, tiam ne nepre ebeno a estas paralela al ebeno c.
La malplena rilato R sur ne-malplena aro X (kio estas aRb estas neniam vera) estas simetria kaj transitiva, sed ne refleksiva. Se tamen X estas ankaŭ malplena tiam R estas refleksiva.
Ekvivalentrilato sur aro ne estas ekvivalentrilato sur pozitiva superaro de la aro, ĉar tiam mankas refleksiveco je aldonitaj eroj. Ekzemple rilato R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} estas ekvivalentrilato sur aro {1, 2, 3} sed ne estas ekvivalentrilato sur aro {1, 2, 3, 4} ĉar ĝi ne veras por (4, 4), kio devus esti ĉar devus esti refleksiveco por ero 4.

Aliaj rilatoj

Parta ekvivalentrilato estas transitiva kaj simetria, sed ne refleksiva. Transitiveco kaj simetrieco implicas refleksivecon se kaj nur se por ĉiu ero a de X ekzistas (eble la alia) ero b de X tia ke a ~ b. Tiam pro la simetrieco validas ankaŭ b ~ a, kaj pro la transitiveco el a ~ b kaj b ~ a sekvas ke a ~ a.

Generado de ekvivalentrilatoj

Por ĉiu donita aro X, estas ekvivalentrilato super la aro de ĉiuj eblaj funkcioj X→X. Du ĉi tiaj funkcioj estas ekvivalentaj se iliaj respektivaj aroj de fiksaj punktoj havas la samajn kardinalojn, kiuj estas la kvantoj de cikloj de longo 1 en la permutoj.

La komunaĵo de ĉiu kolekto de ekvivalentrilatoj super X (por faro de la operacio komunaĵo, la ekvivalentrilatoj estas konsiderataj kiel subaroj de X × X) estas ankaŭ ekvivalentrilato. Ĉi tiu rendimenta oportuna vojo de generante ekvivalentrilato: donita (ĉiu, iu) duargumenta rilato R sur X, la ekvivalentrilato generita per R estas la plej malgranda ekvivalentrilato enhavanta R. Konkrete, R generas la ekvivalentrilaton ~ tiel ke a ~ b se kaj nur se ekzistas eroj

x₁, x₂, ..., x_n en X tiaj ke

a = x₁, b = x_n kaj

x_i R x_i+1 aŭ x_i+1 R x_i por ĉiu i = 1, ..., (n-1).

Ekvivalentrilato generita per ĉi tiu maniero povas esti bagatela. Ekzemple, la ekvivalentrilato generita surbaze de "pli malgranda ol" ≤ sur reelaj nombroj donas ekvivalentecon de ĉiuj nombroj, a ~ b por ĉiuj a kaj b.

Uzoj

Ekvivalentrilato povas konstrui novan topologian spacon per kungluado de partoj de la fonta spaco.

Ekzemple estu X unuobla kartezia kvadrato, kartezia produto [0,1] × [0,1], kaj estu ~ ekvivalentrilato sur X taŭge difinita. Tiam la kvocienta spaco X/~ estas la nova spaco. La plej konataj ekzemploj estas:

Ekvivalentrilato	Rezultanta spaco
Por ĉiu a en [0,1], (a, 0) ~ (a, 1)	Cilindra surfaco
Por ĉiu a en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1)	Rubando de Möbius
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (a, 1) kaj (0, b) ~ (1, b)	Toro
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1) kaj (0, b) ~ (1, b)	Botelo de Klein
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1) kaj (0, b) ~ (1, 1-b)	Reela projekcia ebeno

Reela projekcia ebeno povas rezultiĝi ankaŭ surbaze de sfero se ekvivalentigi ĉiuj du diametre kontraŭajn ĝiajn punktojn.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Kategorio Ekvivalentrilato en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

[1] Arkivigite je 2016-05-14 per la retarkivo Portuguese Web Archive R. Brown, Topologio kaj grupoidoj Booksurge LLC, 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
[2] P.J. Higgins, 1971. Kategorioj kaj grupoidoj, van Nostrand, elŝutebla kiel TAC Reprint, 2005.
[3] Bogomolny, A., Ekvivalenta Interrilato je tranĉi-la-nodon.