Faktorialo

En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale laŭ Christian Kramp.

Grafikaĵo de logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000
50	3,04140932... × 1064
70	1,19785717... × 10100
450	1,73336873... × 101000
3249	6,41233768... × 1010000
25206	1,205703438... × 10100000
47176	8,4485731495... × 10200001
100000	2,8242294079... × 10456573

Difino

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$

$n!=n\cdot (n-1)!$

$0!=1!=1\,$

Oni aldone difinas $0!=1$, ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

Kombinatoriko

En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutaĵoj de n eroj. Ekzemple:

Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:

A

Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutaĵoj:

AB   BA

Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutaĵoj:

ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA

Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutaĵoj:

ABCD   BACD   CABD   DABC

ABDC   BADC   CADB   DACB

ACBD   BCAD   CBAD   DBAC

ACDB   BCDA   CBDA   DBCA

ADBC   BDAC   CDAB   DCAB

ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

Γ-funkcio

Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

Γ(n) = (n-1)!

Proksimuma kalkulado de Stirling

Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+O\left(n^{-4}\right)\right),$

kie la nombro e estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj O estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Tiam estas limigoj por la faktorialo.

${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}$

Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :

$\ln \left(n!\right)\simeq n\ln \left(n\right)-n\ \,.$

Duopa faktorialo

Duopa faktorialo estas:

$n!!={\begin{cases}1,&{\mbox{ se }}n=0{\mbox{ aŭ }}n=1;\\n\times (n-2)!!&{\mbox{ se }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{cases}}$

Tiel:

n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;

n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

Notu, ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

$(n-2)!!={\frac {n!!}{n}}$

Tiel:

n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:

$1,-1,{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{15}},\dots$

Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}$

$(2n-1)!!={(2n-1)! \over (2n-2)!!}={(2n)! \over 2^{n}n!}$

$\Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}$

$\Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}$

kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.

Plurfaktorialo

Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas

$n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.$

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.

Primofaktorialo

Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:

$11\#=12\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$

Se p_n estas la n-a primo, do p_n# estas produto de n la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de p_n# por n=1, 2, 3, ... estas:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Vidu ankaŭ

• Kombinatoriko
• Γ-funkcio

Eksteraj ligiloj

• Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
• A000142 en OEIS - valoroj de faktorialo n! por n = 0, 1, 2, ...
• A006882 en OEIS - valoroj de duopa faktorialo n!! por n = 0, 1, 2, ...
• A002110 en OEIS - valoroj de p_n#
• A001163 en OEIS - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
• A001164 en OEIS - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling