Grupa malfruo kaj faza malfruo

Grupa malfruo kaj faza malfruo estas mezuroj de tio kiel signaloj estas malfruigitaj kiam pasas tra iu sistemo.

Por sendependa de tempo lineara sistemo (kiu povas esti ekzemple fermitcikla regilo, cifereca signal-prilaborilo aŭ analoga signal-prilaborilo) la interrilato inter la eniga signalo, x(t) kaj eliga signalo y(t) de la sistemo estas

$y(t)=(h*x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(u)h(t-u)\,du$

Aŭ, en la frekvenca domajno,

Y(s) = H(s) X(s)

kie

$X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$

$Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}dt$

kaj

$H(s)={\mathcal {L}}\left\{h(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt$

Ĉi tie h(t) estas la tempa domajna impulsa respondo de la sistemo kaj X(s), Y(s), H(s), estas la laplacaj konvertoj de x(t), y(t), h(t) respektive. H(s) estas nomata kiel la tradona funkcio de la sistemo kaj, same kiel la impulsa respondo h(t), plene difinas la karakterizojn de la sistemo.

Kiam ĉi tia sistemo estas gvidita per kvazaŭ-sinusa signalo kun amplituda koverto A(t) malrapide ŝanĝanta relative al la ŝanĝo de fazo ω de la sinusa funkcio,

x(t) = A(t) cos(ωt+θ)

la eligo de la sistemo estas bone proksimumigata kiel

$y(t)=|H(i\omega )|A(t-\tau _{g})\cos \left(\omega (t-\tau _{\phi })+\theta \right)$     (1)

se

${\frac {d\log \left(A(t)\right)}{dt}}\ll \omega \$

kaj τ_g kaj τ_φ, la grupa malfruo kaj faza malfruo respektive, estas kiel montrita pli sube kaj ĝenerale estas funkcioj de ω. En lineara faza sistemo (kun ne-inversiganta amplifo), ambaŭ τ_g kaj τ_φ estas egalaj al la sama konstanta malfruo de la sistemo kaj la faza ŝovo de la sistemo pligrandiĝas lineare kun frekvenco ω.

Eblas konsideri ke la sistemo kun tradona funkcio H(s) estas gvidita per kompleksa sinusa funkcio de unua amplitudo

x(t) = e^iωt

kie la reela parto respektivas al la reala signalo kaj la imaginara parto estas nur por oportuneco de konsidero de la formuloj. Tiam la eligo estas

${\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )e^{i\omega t}\ \\&=\left(|H(i\omega )|e^{i\phi (\omega )}\right)e^{i\omega t}\ \\&=|H(i\omega )|e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\$

kie la faza ŝovo φ estas

φ(ω) = arg(H(iω))

Tiam povas esti montrite ke la grupa malfruo, τ_g, kaj faza malfruo, τ_φ, estas rilatantaj al la faza ŝovo φ kiel

$\tau _{g}=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\$     (2)

$\tau _{\phi }=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\$     (3)

Konvene kun la supre donita priskribo, en optiko, la termino grupa malfruo havas ankaŭ signifon de la tempodaŭro bezonata por optika povumo, vojaĝanta je donita transversa reĝimo, por vojaĝi donitan distancon. La samo estas ankaŭ por iu alia tradonilo (tradona mediumo).

Ĉi tio estas ĉar la tempo de apero de la povumo ĉe la eligo estas difinata per la multiplikato A(t-τ_g) en la formulo (1) por y(t). Se la eniga amplituda koverta funkcio A(t) pligrandiĝas je iu tempo t₀, kio respektivas al apliko de la povumo al al enigo je la tempo t₀, do la eliga amplituda koverta funkcio A(t-τ_g) pligrandiĝas je la tempo t₀+τ_g, kio respektivas al apero de la povumo ĉe la eligo je la tempo t₀+τ_g.

Por celoj de mezuro de varianco en optika fibro, la kvanto de intereso estas grupa malfruo por unuo de longo, kiu estas la inverso de la grupa rapido de aparta reĝimo. La mezurita grupa malfruo de signalo tra optika fibro dependes de ondolonga pro la diversaj variancaj kaŭzoj estantaj en la fibro.

Estas ofte dezirinda por la grupa malfruo al esti konstanta trans ĉiuj frekvencoj. Ĉar grupa malfruo estas $\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}$, kiel estas difinite en (2), konstanta grupa malfruo povas esti atingita se la tradona funkcio de la sistemo havas linearan fazan karakterizon, kio estas ke φ(ω) = φ(0)-τ_gω kie la grupa malfruo τ_g estas konstanto. La grado de nelineareco de la fazo indikas la dekliniĝon de la grupa malfruo de konstanto.

Apero en tekniko

Ĉiuj komponantoj de signalo estas malfruigitaj kiam pasanta tra aparato kiel amplifilo aŭ laŭtparolilo. La malfruo de signalo povas esti malsama por malsamaj frekvencoj. La variado de malfruo signifas ke signalo konsistanta el malsamaj frekvencaj komponantoj suferas malformiĝon kune kun malfruo.

Grupa malfruo estas utila mezuro de tempa malformiĝo, kaj estas kalkulita per diferencialado de la enmeta faza respondo de la aparato kontraŭ frekvenco. Tiel grupa malfruo estas mezuro de la inklino de la faza respondo. La lineara porcio de la faza respondo estas konvertita al konstanta valoro (prezentanta la averaĝan tempodaŭron de trapasado de la signalo) kaj dekliniĝoj de lineara fazo estas konvertitaj en dekliniĝojn de konstanta grupa malfruo. La variadoj en grupa malfruo kaŭzas malformiĝon de signalo, ĝuste kiel dekliniĝoj de lineara fazo kaŭzas malformiĝon. Grupa malfruo estas ĝuste alia maniero rigardi fazan malformiĝon.

Malgranda malfrua variado estas kutime ne problemo, sed pli grandaj malfruoj povas kaŭzi ĝenojn kiel malbona fideleco kaj intersimbola perturbo. Alte rapidaj modemoj uzas adaptajn egaligilojn por kompensi kontraŭ grupa malfruo.

En aŭda kampo

Grupa malfruo havas iun gravecon en la aŭda kampo kaj aparte en la sona reproduktado. Multaj komponantoj de aŭda reproduktada, rimarkinde laŭtparoliloj kaj laŭtparolilo kun pluraj frekvencaj kanaloj, aldonas nekonstantan grupan malfruon en la aŭdan signalon. Estas pro tio grave scii la randon de aŭdebleco de nekonstanta grupa malfruo kun respekto al frekvenco, aparte se la aŭda ĉeno estas supozita al provizi alte fidelecan reproduktado. Je la tempo de skribado ne vastaj datumoj estas haveblaj. La plej bonaj randoj de aŭdebleco, donitaj en la tabelo estas provizita en .

Frekvenco	Rando
500 Hz	3,2 ms
1 kHz	2 ms
2 kHz	1 ms
4 kHz	1,5 ms
8 kHz	2 ms

Vidu ankaŭ

• Fazo-frekvenca karakterizo
• Filtrilo de Bessel
• Grupa rapido

Eksteraj ligiloj

• Diskuto de grupa malfruo en laŭtparoliloj
• Eksplikoj kaj aplikoj de grupaj malfruoj Arkivigite je 2011-07-06 per la retarkivo Wayback Machine