Harmondivizora nombro

Je nombroteorio, harmondivizora nombro, aŭ nombro de Ore (nomita pro Øystein Ore, kiu difinis ili en 1948), estas pozitiva entjero, kies divizoroj havas harmonan meznombron kiu estas entjero. Jen la unuaj kelkaj harmondivizoraj nombroj:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, ... .

Ekzemple, la harmondivizora nombro 6 havas la kvar divizorojn 1, 2, 3, kaj 6. Ilia harmona meznombro estas entjero:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2

La nombro 140 havas la divizorojn 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, kaj 140. Ilia harmona meznombro estas

{\frac {12}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}

kiu egalas 5 kiu estas entjero, do 140 estas harmondivizora nombro.

Harmondivizoraj nombroj kaj perfektaj nombroj

Por ĉiu entjero M, kiel Ore observis, la produto de la harmona meznombro kaj aritmetika meznombro de ĝiaj divizoroj egalaj M mem. Pro tio, M estas harmondivizora, kun harmona meznombro de divizoroj k, se kaj nur se la averaĝo de ĝiaj divizoroj estas la produto de M kun ono 1/k.

Ore montris ke ĉiu perfekta nombro estas harmondivizora. La sumo de divizoroj de perfekta nombro M estas akurate 2M; pro tio, la averaĝo de la divizoroj estas M(2/τ(M)), kie τ(M) estas la kvanto de divizoroj de M. Por ĉiu M, τ(M) estas nepara se kaj nur se M estas kvadrata nombro, alie ĉiu dividanto d de M povas esti parita kun malsama dividanto M/d. Sed, perfekta nombro ne povas esti kvadrato: ĉi tio sekvas de la sciata formo de paraj perfektaj nombroj kaj de tio ke neparaj perfektaj nombroj (se ili ekzistas) devas havi faktoron de formo q^α kie α ≡ 1 (mod 4). Pro tio, por perfekta nombro M, τ(M) estas para kaj la averaĝo de la divizoroj estas produto de M kun la ono 2/τ(M); tial, M estas harmondivizora nombro.

Ore konjektis ke ne ekzistas neparaj harmondivizoraj nombroj escepte de 1. Se la konjekto estas vera, ĉi tio devas enhavi la neekziston de neparaj perfektaj nombroj.

Baroj kaj komputilaj serĉoj

W. H. Frezas montris ke ĉiu nepara harmondivizora nombro pli granda ol 1 devas havi priman povan faktoron pli grandan ol 10⁷, kaj Cohen montris ke ĉiu tia nombro devas havi almenaŭ tri malsamajn primajn faktorojn.

Cohen, Goto, kaj aliaj startante kun Ore mem plenumis komputilajn serĉojn listante ĉiujn malgrandajn harmonajn dividantajn nombrojn. De ĉi tiuj rezultoj, listoj estas sciata de ĉiuj harmonaj dividantaj nombroj ĝis 2×10⁹, kaj ĉiuj harmondivizoraj nombroj por kiuj la harmona meznombro de la divizoroj estas maksimume 300.

Referencoj

. Alirita 2006-09-10 .
Cohen, Graeme L. (1997). “Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean - Nombroj kies pozitivaj divizoroj havas malgrandan entjeran harmonan meznombron”, Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 66, p. 883–891.
. Alirita 2006-09-10 .
Muskat, Joseph B. (1966). “On Divisors of Odd Perfect Numbers - Pri divizoroj de neparaj perfektaj nombroj”, Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 20 (93), p. 141–144. doi:10.2307/2004277.
Øystein Ore (1948). “On the averages of the divisors of a number - Pri la averaĝoj de la divizoroj de nombro”, American Mathematical Monthly - Amerika matematika monatrevuo 55, p. 615–619.

Eksteraj ligiloj

Eric W. Weisstein, Harmonic divisor number en MathWorld.
A001599 en OEIS