En matematiko , homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj .
Formale, estu
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W\qquad \qquad }
funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo
F
{\displaystyle F\qquad \qquad }
Ni diru, ke
f
{\displaystyle f\qquad \qquad }
homogena de grado
k
{\displaystyle k\qquad \qquad }
,
se la ekvacio
f
(
α
v
)
=
α
k
f
(
v
)
(
∗
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)}
veras por ĉiuj
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F\qquad \qquad }
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V\qquad \qquad }
Lineara funkcio estas homogena de grado 1.
f
(
α
v
)
=
α
f
(
v
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
Plurlineara funkcio
f
:
V
1
×
…
×
V
n
→
W
{\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad }
n :
f
(
α
v
1
,
…
,
α
v
n
)
=
α
n
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
redakti
Funkcio
f
(
x
)
=
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\qquad \qquad }
kiu estas homogena de grado
k
{\displaystyle k\qquad \qquad }
derivaĵojn de grado
k
−
1
{\displaystyle k-1\qquad \qquad }
eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj , kiu konstatas, ke
x
⋅
∇
f
(
x
)
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }
Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas
∑
i
=
1
n
x
i
∂
f
∂
x
i
(
x
)
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}
Pruvo
Estu
f
=
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
derivaĵon de
f
(
α
y
)
=
α
k
f
(
y
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}
je
α
{\displaystyle \alpha }
ĉena regulo estas
∂
∂
x
1
f
(
α
y
)
d
d
α
(
α
y
1
)
+
⋯
+
∂
∂
x
n
f
(
α
y
)
d
d
α
(
α
y
n
)
=
k
α
k
−
1
f
(
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )}
kaj do
y
1
∂
∂
x
1
f
(
α
y
)
+
⋯
+
y
n
∂
∂
x
n
f
(
α
y
)
=
k
α
k
−
1
f
(
y
)
{\displaystyle y_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} )+\cdots +y_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )}
Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel
y
⋅
∇
f
(
α
y
)
=
k
α
k
−
1
f
(
y
)
,
∇
=
(
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
)
{\displaystyle \mathbf {y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}
de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
