Konveksa unuforma kahelaro de eŭklida 3-spaco

En geometrio, konveksa unuforma kahelaro de eŭklida 3-spaco estas unuforma kahelaro de tri-dimensia eŭklida spaco kun ne-interkovrantaj konveksaj unuformaj pluredraj ĉeloj. Vorto konveksa ĉi tie ne estas uzata plene laŭ difino de la konveksa aro, sed analoge al kondiĉoj de konvekseco de hiperpluredro. Do, konveksa kahelaro estas kahelaro kiu verigas kondiĉojn de konvekseco de hiperpluredro, krom tio ke la angula difekto ne estas pozitiva.

Ekzistas 28 ĉi tiaj kahelaroj:

La sola regula kahelaro de eŭklida 3-spaco, kuba kahelaro, kaj 7 ĝiaj tranĉoj;
La alternita kuba kahelaro kaj 4 ĝiaj tranĉoj;
10 prismaj formoj bazitaj je la unuformaj ebenaj kahelaroj (la 11-a el ili estas jam listigita kuba kahelaro);
5 ŝanĝoj de iuj el la pli supre listigitaj per plilongigo aŭ turnigo.

Ili povas esti konsiderataj la tri-dimensiaj analogoj de la unuformaj kahelaroj de la ebeno.

Historio

1900: Thorold Gosset skribis liston de duonregulaj konveksaj hiperpluredroj kun regulaj ĉeloj (platonaj solidoj) en sia eldono Pri la regula kaj duonregula figuroj en spaco de n dimensioj, inkluzivante unu regulan kuban kahelaron kaj du duonregulajn formojn kun kvaredroj kaj okedroj.
1905: Alfredo Andreini listigis na 25 el ĉi tiuj kahelaroj.
1991: Norman Johnson en manuskripto Unuformaj hiperpluredroj listigis la ĉiuj 28.
1994: Branko Grünbaum, en sia papero Unuformaj kahelaroj de 3-spaco sendepende listigis la ĉiuj 28, post malkovro de eraroj en eldono de Andreini. Li trovis ke en la papero de Andreini 1 kahelaro estas erara, kaj 4 turnitaj kaj plilongigitaj formoj forestas. Grünbaum ankaŭ skribis ke I. Aleksejev de Rusio ankaŭ sendepende listigis ĉi tiujn formojn proksimume en la sama tempo.
2006: George Olshevsky en sia manuskripto elvolvas plu derivitan liston de 143 konveksaj unuformaj kahelaroj de 4-spaco.

Nur 14 de la konveksaj unuformaj pluredroj aperi en ĉi tiuj ŝablonoj:

3 el la 5 platonaj solidoj - kvaredro, okedro, kubo;
6 el la 13 arĥimedaj solidoj - senpintigita kvaredro, kubokedro, senpintigita okedro, senpintigita kubo, malgranda rombokub-okedro, granda rombokub-okedro;
4 el la malfinia familio de prismoj - triangula prismo, seslatera prismo, oklatera prismo, dekdulatera prismo (ne listigante ĉi tie kubon).

Indeksoj

Por referencoj, ĉi tie estas donitaj indeksoj de la kahelaroj laŭ la laboroj de:

A - Andreini (1-22)
W - Williams (1-2,9-19)
J - Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65)
G - Grünbaum (1-28)

Ĉi tiuj kahelaroj iam estas nomataj kiel kahelaroj de Andreini.

Kahelaroj listigitaj laŭ malfiniaj grupoj de Coxeter

Grupoj de Coxeter en 3-spaco kun figuroj. Spegulaj triangulaj edroj estas markitaj per kontraŭa vertico 0...3.
Lateroj estas kolorigitaj per iliaj reflektaj ordoj:
ruĝa - ordo 2
verda - ordo 3
malhela blua - ordo 4.
R₄ enspacas na 1/24 de la kubo. S₄ enspacas na 1/12 de la kubo. P₄ enspacas na 1/6 de la kubo.

La fundamentaj malfiniaj grupoj de Coxeter por eŭklida 3-spaco estas:

R₄, [4,3,4], kuba, (8 unikaj formoj, la alternita formo respektivas al la sekva alineo)
S₄, h[4,3,4], alternita kuba, (11 formoj, 4 novaj)
P₄ cikla grupo, (5 formoj, 1 nova)

La prismaj kolonoj de malfiniaj grupoj de Coxeter por eŭklida 3-spaco estas:

R₃xW₂, [4,4]x[∞] prisma grupo, (2 novaj formoj)
V₃xW₂, [6,3]x[∞] prisma grupo, (7 novaj formoj)
P₃xW₂, [Δ]x[∞] prisma grupo, (sen novaj formoj)
W₂xW₂xW₂, [∞]x[∞]x[∞] prisma grupo, (denove kuba kahelaro, do sen novaj formoj)

Aldone estas unu speciala plilongigita formo de la triangula (ebena) kahelaro kaj farita surbaze de ĝi plilongigita triangula prisma kahelaro (1 nova formo).

Aldone estas 5 specialaj kahelaroj kiu ne havas puran reflektan simetrion kaj estas konstruitaj de reflekte simetriaj formoj per operacioj plilongigo kaj turnigo.

R₄, [4,3,4] grupo (kuba)

La regula kuba kahelaro, prezentis per simbolo de Schläfli {4,3,4}, donas 7 unikajn derivitajn unuformaj kahelaroj per tranĉaj operacioj. La edrotranĉita kuba kahelaro, estas inkluzivita por pleneco sed estas identa al la kuba kahelaro.

Relativaj kvantoj de ĉeloj laŭ pozicioj en kuba kahelaro estas 1, 4, 4, 1 por pozicioj (0), (1), (2), (3) respektive. Tamen, ĉiu vertico povas esti najbara al diversa kvanto de ĉeloj de en diversaj pozicioj.

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj en kuba kahelaro				Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	(0)	(1)	(2)	(3)	Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kuba kahelaro	J_11,15 A₁ W₁ G₂₂	t₀{4,3,4}				8 kuboj (4.4.4)			Okedro
Rektigita kuba kahelaro	J_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇	t₁{4,3,4}	2 okedroj (3.3.3.3)			4 kubokedroj (3.4.3.4)			Paralelepipedo
Senpintigita kuba kahelaro	J₁₃ A₁₄ W₁₅ G₈	t_0,1{4,3,4}	1 okedro (3.3.3.3)			4 senpintigitaj kuboj (3.8.8)			Kvadrata piramido
Laterotranĉita kuba kahelaro	J₁₄ A₁₇ W₁₂ G₉	t_0,2{4,3,4}	1 kubokedro (3.4.3.4)	2 kuboj (4.4.4)		2 malgrandaj rombokub-okedroj (3.4.4.4)			Kojno
Edrotranĉita kuba kahelaro (la sama kiel regula kuba kahelaro)	J_11,15	t_0,3{4,3,4}	1 kubo (4.4.4)	3 kuboj (4.4.4)	3 kuboj (4.4.4)	1 kubo (4.4.4)			okedro
Dutranĉita kuba kahelaro	J₁₆ A₃ W₂ G₂₈	t_1,2{4,3,4}	2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)			2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)			Izocela kvaredro
Rektigitotranĉita kuba kahelaro	J₁₇ A₁₈ W₁₃ G₂₅	t_0,1,2{4,3,4}	1 senpintigita okedro (4.6.6)	1 kubo (4.4.4)		2 grandaj rombokub-okedroj (4.6.8)			Neregula kvaredro
Edroverticotranĉita kuba kahelaro	J₁₈ A₁₉ W₁₉ G₂₀	t_0,1,3{4,3,4}	1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)	1 kubo (4.4.4)	2 oklateraj prismoj (4.4.8)	1 senpintigita kubo (3.8.8)			Oblikva trapeza piramido
Entutotranĉita kuba kahelaro	J₁₉ A₂₂ W₁₈ G₂₇	t_0,1,2,3{4,3,4}	1 granda rombokub-okedro (4.6.8)	1 oklatera prismo (4.4.8)	1 oklatera prismo (4.4.8)	1 granda rombokub-okedro (4.6.8)			Malregula kvaredro
Kvaredro-okedra kahelaro (alternita kuba kahelaro)	J_21,31,51 A₂ W₉ G₁	h₀{4,3,4}	6 okedroj (3.3.3.3)			8 kvaredroj (3.3.3)			Kubokedro

S₄, h[4,3,4] grupo

La S₄ grupo donas 11 derivajn formoj per tranĉaj operacioj, el ili 4 estas novaj unuformaj kahelaroj.

Verticoj estas indeksataj kiel 0,1,0',3 kaj 0' estas interŝanĝebla 0.

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin	Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj en alternita kuba kahelaro				Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin	(0)	(1)	(0')	(3)	Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kvaredro-okedra kahelaro (alternita kuba kahelaro)	J_21,31,51 A₂ W₉ G₁				6 okedroj (3.3.3.3)	8 kvaredroj (3.3.3)			Kubokedro
Senpintigita alternita kuba kahelaro	J_22,34 A₂₁ W₁₇ G₁₀			1 kubokedro (3.4.3.4)	2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)	2 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)
Rektigita kuba kahelaro (rektigita alternita kuba kahelaro)	J_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇		2 kubokedroj (3.4.3.4)		2 kubokedroj (3.4.3.4)	2 okedroj (3.3.3.3)			Paralelepipedo
Rektigita kuba kahelaro (laterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)	J_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇		1 okedro (3.3.3.3)		1 okedro (3.3.3.3)	4 kubokedroj (3.4.3.4)			Paralelepipedo
Dutranĉita kuba kahelaro (rektigitotranĉita alternita kuba kahelaro ???)	J₁₆ A₃ W₂ G₂₈		1 senpintigita okedro (4.6.6)		1 senpintigita okedro (4.6.6)	2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)			Izocela kvaredro
Senpintigita kuba kahelaro (dulaterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)	J₁₃ A₁₄ W₁₅ G₈		2 senpintigitaj kuboj (3.8.8)		2 senpintigitaj kuboj (3.8.8)	1 okedro (3.3.3.3)			Kvadrata piramido
Kuba kahelaro (trirektigita alternita kuba kahelaro ???)	J_11,15 A₁ W₁ G₂₂		4 kuboj (4.4.4)		4 kuboj (4.4.4)				Okedro
Alterne edrotranĉita kuba kahelaro	J₂₃ A₁₆ W₁₁ G₅		1 kubo (4.4.4)		3 malgrandaj rombokub-okedroj (3.4.4.4)	1 kvaredro (3.3.3)
Laterotranĉita kuba kahelaro (edrolaterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)	J₁₄ A₁₇ W₁₂ G₉		1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)	2 kuboj (4.4.4)	1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)	1 kubokedro (3.4.3.4)			Kojno
Alterne edroverticotranĉita kuba kahelaro	J₂₄ A₂₀ W₁₆ G₂₁			1 senpintigita kubo (3.8.8)	2 grandaj rombokub-okedroj (4.6.8)	1 senpintigita kvaredro (3.6.6)
Rektigitotranĉita kuba kahelaro (entutotranĉita alternita kuba kahelaro ???)	J₁₇ A₁₈ W₁₃ G₂₅		1 granda rombokub-okedro (4.6.8)	1 kubo (4.4.4)	1 granda rombokub-okedro (4.6.8)	1 senpintigita okedro (4.6.6)			Malregula kvaredro

P₄ grupo

Estas 5 formoj de la grupo P₄, nur la kvarona kuba kahelaro estas nova.

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj				Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	(0)	(1)	(2)	(3)	Solidoj (parta)	Perspektiva vida	Vertica figuro
Kvaredro-okedra kahelaro (alternita kuba kahelaro)	J_21,31,51 A₂ W₉ G₁	h₀{4,3,4}		4 kvaredroj (3.3.3)	6 okedroj (3.3.3.3)	4 kvaredroj (3.3.3)			Kubokedro
Rektigita kuba kahelaro	J_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇		2 kubokedroj (3.4.3.4)	1 okedroj (3.3.3.3)	2 kubokedroj (3.4.3.4)	1 okedroj (3.3.3.3)			Paralelepipedo
Kvarona kuba kahelaro	J_25,33 A₁₃ W₁₀ G₆		1 kvaredro (3.3.3)	1 kvaredro (3.3.3)	3 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)	3 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)
Senpintigita alternita kuba kahelaro	J_22,34 A₂₁ W₁₇ G₁₀		1 senpintigita kvaredro (3.6.6)	1 kubokedro (3.4.3.4)	1 senpintigita kvaredro (3.6.6)	2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
Dutranĉita kuba kahelaro	J₁₆ A₃ W₂ G₂₈		1 senpintigita okedro (4.6.6)	1 senpintigita okedro (4.6.6)	1 senpintigita okedro (4.6.6)	1 senpintigita okedro (4.6.6)			Izocela kvaredro

Prismaj kolonoj

11 prismaj kahelaroj estas konstruataj per kolonigo de la 11 unuformaj ebenaj kahelaroj, kreante paralelajn tavolojn de prismoj. Unu el ĉi tiuj kahelaroj estas la kuba kahelaro, listigita pli supre. La vertica figuro de ĉiuj la 10 novaj kahelaroj estas malregula dupiramido kies edroj estas izocelaj trianguloj.

Notu, ke nomo de ĉi tia kahelaro "prismigita riproĉa seslatera kahelaro" estas pli bona ol iam uzata nomo "riproĉa seslatera prisma kahelaro", ĉar komence de seslatera kahelaro unue ĝi estas riproĉigita kaj nur poste el ĝi estas farataj prismoj. Sed la dua nomo signifas ke seslateraj prismoj estas riproĉigitaj, kio ne estas la vero.

La R₃xW₂, [4,4] x [∞], prisma grupo

Estas nur 3 unikaj kahelaroj de la kvadrata kahelaro, sed ĉiuj 6 kahelaraj tranĉoj estas listitaj ĉi tie por pleneco, kaj kahelaraj bildoj estas montrita kun koloroj respektivaj al ĉiu formo.

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	Fonta ebena kahelaro
Kuba kahelaro (kvadrata prisma kahelaro)	J_11,15 A₁ G₂₂	{4,4} x {∞}	Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)
Prismigita senpintigita kvadrata kahelaro (dutranĉita kvadrata prisma kahelaro)	J₄₅ A₆ G₂₄	t_0,1{4,4} x {∞}	Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8)
Kuba kahelaro (Rektigita kvadrata prisma kahelaro)	J_11,15 A₁ G₂₂	t₁{4,4} x {∞}	Kvadrata kahelaro (4.4.4.4) (rektigita kvadrata kahelaro)
Kuba kahelaro (laterotranĉita kvadrata prisma kahelaro)	J_11,15 A₁ G₂₂	t_0,2{4,4} x {∞}	Kvadrata kahelaro (4.4.4.4) (laterotranĉita kvadrata kahelaro)
Prismigita senpintigita kvadrata kahelaro (prismigita entutotranĉita kvadrata kahelaro)	J₄₅ A₆ G₂₄	t_0,1,2{4,4} x {∞}	Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8) (entutotranĉita kvadrata kahelaro)
Prismigita riproĉa kvadrata kahelaro	J₄₄ A₁₁ G₁₄	s{4,4} x {∞}	Riproĉa kvadrata kahelaro (3.3.4.3.4)

La V₃xW₂, [6,3] x [∞] prisma grupo

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	Fonta ebena kahelaro
Seslatera prisma kahelaro	J₄₂ A₅ G₂₆	t₀{6,3} x {∞}	Seslatera kahelaro (6.6.6)
Prismigita senpintigita seslatera kahelaro	J₄₆ A₇ G₁₉	t_0,1{6,3} x {∞}	Senpintigita seslatera kahelaro (3.12.12)
Tri-seslatera prisma kahelaro	J₄₃ A₈ G₁₈	t₁{6,3} x {∞}	(3.6.3.6)
Prismigita senpintigita triangula kahelaro (seslatera prisma kahelaro)	J₄₂ A₅ G₂₆	t_1,2{6,3} x {∞}	Seslatera kahelaro (6.6.6) (senpintigita triangula kahelaro)
Triangula prisma kahelaro	J₄₁ A₄ G₁₁	t₂{6,3} x {∞}	Triangula kahelaro (3.3.3)
Malgranda rombo-tri-seslatera prisma kahelaro	J₄₇ A₉ G₁₆	t_0,2{6,3} x {∞}	Malgranda rombo-tri-seslatera kahelaro (3.4.6.4)
Prismigita entutotranĉita seslatera kahelaro (granda rombo-tri-seslatera prisma kahelaro)	J₄₉ A₁₀ G₂₃	t_0,1,2{6,3} x {∞}	Granda rombo-tri-seslatera kahelaro (4.6.12)
Prismigita riproĉa seslatera kahelaro	J₄₈ A₁₂ G₁₇	s{6,3} x {∞}	Riproĉa seslatera kahelaro (3.3.3.3.6)

Plilongigita formo de la triangula (ebena) kahelaro

Kahelaro	Indeksoj	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli	Fonta ebena kahelaro	Bildo de fonta ebena kahelaro	Solidoj (parta)
Plilongigita triangula prisma kahelaro	J₆₅ A_11' G₁₃	{3,6}:e x {∞}	Plilongigita triangula kahelaro (3.3.3.4.4)

Turnitaj kaj plilongigitaj formoj

Ĉiu el tri novaj unuformaj kahelaroj estas generitaj per disigo de iu el la pli supre listigitaj kahelaroj tie kie ĝiaj edroj formas kontinuan ebenon, kaj turno de alternaj tavoloj je 60 aŭ 90 gradoj (turno) aŭ enigo de tavolo de prismoj (plilongigo).

La plilongigita alternita kuba kahelaro kaj turnoplilongigita alternita kuba kahelaro havas la saman vertican figuron, sed ne estas egalaj. En la plilongigita formo, ĉiu prismo tuŝas kvaredron je unu triangula bazo kaj okedron je la alia. En la turnoplilongigita formo, prismoj kiuj tuŝas kvaredrojn je ambaŭ bazoj alternas kun prismoj kiuj tuŝas okedrojn je ambaŭ bazoj.

La turnoplilongigita triangula prisma kahelaro havas la sama vertican figuron kiel unu el la ebenaj prismaj kahelaroj; la du povas esti derivitaj de la turnita triangula prisma kahelaro kaj ebena triangula prisma kahelaro respektive, per enigo de tavoloj de kuboj.

Kahelaro	Indeksoj	Simbolo	Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico
Turnita alternita kuba kahelaro	J₅₂ A_2' G₂	h{4,3,4}:g	kvaredro (8) okedro (6)
Turnoplilongigita alternita kuba kahelaro	J₆₁ A_? G₃	h{4,3,4}:ge	triangula prismo (6) kvaredro (4) okedro (3)
Plilongigita alternita kuba kahelaro	J₆₂ A_? G₄	h{4,3,4}:e	triangula prismo (6) kvaredro (4) okedro (3)
Turnita triangula prisma kahelaro	J₆₃ A_? G₁₂	{3,6}:g x {∞}	triangula prismo (12)
Turnoplilongigita triangula prisma kahelaro	J₆₄ A_? G₁₅	{3,6}:ge x {∞}	triangula prismo (6) kubo (4)