Kvadrata nombro
En matematiko, kvadrata nombro, aŭ perfekta kvadrato, estas entjero kiu estas kvadrato de iu entjero. Ekzemple, 9 estas kvadrata nombro, ĉar ĝi estas 3 × 3. Kvadrataj nombroj estas nenegativaj. De la alia flanko, nenegativa nombro estas kvadrata nombro, se ĝia kvadrata radiko estas entjero. Ekzemple, √9 = 3, tiel 9 estas kvadrata nombro.
Pozitiva entjero kiu ne havas perfektajn kvadratajn divizorojn escepte de 1 estas kvadrato-libera.
La kutima skribmaniero por la formulo por la kvadrato de nombro n estas produto n × n, aŭ ekvivalenta potencigo n2
Se racionalaj nombroj estas inkluzivitaj, la kvadrato estas la rilatumo de du kvadrataj entjeroj, kaj, male, la rilatumo de du kvadrataj entjeroj estas kvadrato (ekzemple 4/9 = (2/3)2).
Startante kun 0, estas 1 + ⌊√m⌋ kvadrataj nombroj supren ĝis kaj inkluzivante de m.
La unuaj kvadratoj de nenegativaj entjeroj estas:
|
|
|
Propraĵoj
redaktiLa nombro m estas kvadrata nombro se kaj nur se oni povas aranĝi m punktojn en kvadrato:
|
|
|
|
|
| 12 = 1 | 22 = 4 | 32 = 9 | 42 = 16 | 52 = 25 |
La kvadrata nombro n2 estas egala al sumo de la unuaj n neparaj nombroj:
kiel povas vidiĝi en la pli supraj bildoj, kie ĉiu kvadrato rezultiĝas de la antaŭa unu per aldono de nepara kvanto de punktoj (markitaj kiel '+'). Tiel ekzemple 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Kvadrata nombro estas ankaŭ sumo de du najbaraj triangulaj nombroj. Sumo de du najbaraj kvadrataj nombroj estas centrita kvadrata nombro. Ĉiu nepara kvadrata nombro estas ankaŭ centrita oklatera nombro.
Kvar-kvadrata teoremo de Lagrange diras ke ĉiu pozitiva entjero povas esti skribita kiel sumo de 4 aŭ malpli multaj perfektaj kvadratoj. Tri kvadratoj estas ne sufiĉa por nombroj de formo 4k(8m + 7). Pozitiva entjero povas esti prezentita kiel sumo de du kvadratoj precize se ĝia prima faktorigo ne enhavas neparajn potencojn de primoj de formo 4k + 3. Ĉi tio estas ĝeneraligita per problemo de Waring.
Kvadrata nombro povas nur finiĝi je ciferoj 00, 1, 4, 6, 9, 25 en bazo 10, kiel sekvas:
- Se la lasta cifero de nombro estas 0, ĝia kvadrato finiĝas je 00 kaj la antaŭvenantaj ciferoj devas ankaŭ formi kvadratan nombron.
- Se la lasta cifero de nombro estas 1 aŭ 9, ĝia kvadrato finiĝas je 1 kaj la nombro formita per ĝiaj antaŭvenantaj ciferoj devas esti dividebla per 4.
- Se la lasta cifero de nombro estas 2 aŭ 8, ĝia kvadrato finiĝas je 4 kaj la antaŭvenanta cifero devas esti para.
- Se la lasta cifero de nombro estas 3 aŭ 7, ĝia kvadrato finiĝas je 9 kaj la nombro formita per ĝiaj antaŭvenantaj ciferoj devas esti dividebla per 4.
- Se la lasta cifero de nombro estas 4 aŭ 6, ĝia kvadrato finiĝas je 6 kaj la antaŭvenanta cifero devas esti nepara.
- Se la lasta cifero de nombro estas 5, ĝia kvadrato finiĝas je 25 kaj la antaŭvenantaj ciferoj devas esti 0, 2, 06, aŭ 56.
Kvadrata nombro ne povas esti perfekta nombro.
Kvadrato de para nombroj estas para, (2n)2 = 4n2.
Kvadrato de nepara nombro estas nepara, (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Do kvadrata radiko de para kvadrata nombro estas para, kaj kvadrata radiko de nepara kvadrata nombro estas nepara.
Teoremo de Chen
redaktiChen Jingrun montris en 1975 en la teoremo de Chen ke inter n2 kaj (n+1)2 nepre ekzistas nombro P kiu estas primo aŭ duonprimo (produto de du primoj). Vidu ankaŭ en konjekto de Legendre.
Vidu ankaŭ
redaktiReferencoj
redaktiEksteraj ligiloj
redakti- Eric W. Weisstein, Kvadrata Nombro en MathWorld.
- A000290 en OEIS - la unuaj kvadratoj de naturaj nombroj
- Kvadrataj nombroj supren ĝis 144 Arkivigite je 2008-02-11 per la retarkivo Wayback Machine
- [1] Java apleto por malkomponi naturan nombron en sumon de kvadratoj de Dario Alpern
- Fibonacci-aj kaj kvadrataj nombroj