Modulo (algebro)
En abstrakta algebro, la nocio modulo super ringo estas komuna ĝeneraligo de du plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.
Difino
redaktiMaldekstra R-modulo super la ringo R konsistas el komuta grupo (M, +) kaj operacio R × M → M (nomata skalara multipliko; notacie: rx por r en R kaj x en M) tia, ke
por ĉiuj r,s en R, x,y en M:
- r(x+y) = rx+ry
- (r+s)x = rx+s x
- (rs)x = r(s x)
En la kuntekstoj, kiuj implicas, ke la ringo R estas unuohava (tiel estas en plejmulto da kutimaj kuntekstoj), aldoniĝas ankaŭ jena postulo:
- 1R x = x
Kutime, oni simple skribas "maldekstra R-modulo M" aŭ RM. Dekstra R-modulo M aŭ MR estas difinita simile, sed la ringo operacias dekstre, kio signifas, ke la skalara multipliko estas de formo M × R → M, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj r kaj s dekstre de x kaj y.
Dumodulo aŭ duflanka modulo estas modulo, kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.
Se R estas komuta, tiam la maldekstraj R-moduloj estas esence la samo kiel dekstraj R-moduloj kaj estas nomataj simple R-moduloj.
Ekzemploj
redakti- Se K estas kampo, tiam nocioj "K-vektora spaco" kaj K-modulo estas identaj.
- La koncepto de Z-modulo estas ekvivalenta al la nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj Z en triviala maniero. Por n > 0, estu nx = x + x + … + x (n termoj), 0x = 0, kaj (−n)x = −(nx).
- Se R estas iu ringo kaj n estas natura nombro, tiam la kartezia produto Rn estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super R se oni uzu la laŭkomponantajn operaciojn. Speciale, kiam n=1, tio montras, ke R estas R-modulo, por kiu la ringa multipliko servas kiel skalara multipliko. La kazo n=0 estas nul-modulo, la triviala unuelementa R-modulo {0}. Moduloj de ĉi tiu tipo nomiĝas liberaj, kaj la nombro n estas la rango de la libera modulo.
- Se S estas nemalplena aro, M estas maldekstra R-modulo, kaj MS estas kolekto de ĉiuj funkcioj f : S → M, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en MS difinita per (f + g)(s) = f(s) + g(s) kaj (_rf_)(s) = _rf_(s), MS estas maldekstra R-modulo. La okazo de dekstra R-modulo estas analoga. Aparte, se R estas komuta tiam la kolekto de R-modulaj homomorfioj h : M → N (vidi pli sube) estas R-modulo (kaj fakte submodulo de NM).
- Se X estas glata sternaĵo, tiam la glataj funkcioj de X al la reela nombra formas ringon C∞(X). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur X formas modulon super C∞(X), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur X.
- La kvadrataj n-per-n matricoj kun reelaj elementoj formas ringon R, kaj la eŭklida spaco Rn estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
- Se R estas iu ringo kaj I estas iu maldekstra idealo de R, tiam I estas maldekstra modulo super R. Tute analoge dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.
Tipoj de moduloj
redakti- La nul-modulo {0}.
- Finie generita. Modulo M estas finie generita, se en ĝi ekzistas finie multaj elementoj x1,…,xn tiaj, ke ĉiu elemento de M estas lineara kombinaĵo de tiuj elementoj kun koeficientoj de la skalara ringo R.
- Cikla modulo. Oni nomas modulon cikla modulo, se ĝi estas generebla per unu elemento.
- Libera. Libera modulo estas modulo, kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, kiam ĝi estas izomorfa al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo R. Ĉi tiaj moduloj similas al vektoraj spacoj.
- Projekcia modulo estas tia modulo , ke ekzistas modulo , por kiu estas libera modulo.
- Injekcia modulo estas tia modulo , ke se estas submodulo de modulo , tiam por iu alia submodulo de .
- Simpla modulo estas ĉia modulo, kiu havas precize du submodulojn: {0} kaj sin mem. Tia difino interalie implicas, ke la nul-modulon oni ne konsideras simpla. Simplajn modulojn oni foje nomas neredukteblaj.
