Radiko de unu

En matematiko, la n-radikoj de 1 aŭ nombroj de Moivre estas ĉiuj kompleksaj nombroj kiu donas nombron 1 se estas potencitaj je donita povo n. Ili situas en la unuocirklo de kompleksa ebeno kaj ili formas kiel verticoj n-flankitan regulan poligonon kun unu vertico en punkto 1.

Difino

Tiuj kompleksaj nombroj $z$, kiuj solvas la ekvacion

$z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\dots )$,

estas nomitaj $n$-radikoj de $1$.

Estas $n$ malsamaj $n$-radikoj de $1$:

$e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$

Primitivaj radikoj

La n-radikoj de 1 formas multiplikan ciklan grupon de ordo n. Generilo por ĉi tiu cikla grupo estas primitiva n-radiko de 1. La primitiva n-radikoj de 1 estas $e^{2\pi ik/n}$ kie k kaj n estas reciproke primaj. La kvanto de malsamaj primitivaj n-radikoj de 1 estas φ(n).

Ekzemploj

Estas nur unu 1-radiko de 1, egala al 1.

2-radikoj de 1 estas +1 kaj -1, nur -1 estas la primitiva.

3-radikoj de 1 estas

$\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\},$

kie $i$ estas la imaginara unuo; la lastaj du estas la primitivaj.

4-radikoj de 1 estas

$\left\{1,+i,-1,-i\right\},$

kaj $+i$ kaj $-i$ estas la primitivaj.

Sumado

Se n≥2 sumo de ĉiuj n-radikoj de 1 egalas al 0.

Vidu ankaŭ

• Radiko (matematiko)
• Kvadrata radiko
• Kuba radiko