Matemáticas/Matrices/Concepto de Matriz

Matriz es una disposición matemática de elementos pertenecientes a un conjunto, en filas y columnas.

Definiciones de Matriz

Una matriz es un arreglo bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí.
Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz.
Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas.
Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).

Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas, o sea es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n ($m\times n$) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño $m\times n$ se representa como ${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )$, donde $\mathbb {K}$ es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño $1\times n$ mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño $m\times 1$.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, $m=n\,\!$, se les llaman matrices cuadradas. y el conjunto se denota ${\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {K} )$ o alternativamente ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$.

Notación de Leibniz

Se utiliza un elemento único acompañado de índice y subíndice, de manera tal que el índice indique la columna y el subíndice la fila.

$\mathbb {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}^{1}&a_{1}^{2}&a_{1}^{3}\\a_{2}^{1}&a_{2}^{2}&a_{2}^{3}\\a_{3}^{1}&a_{3}^{2}&a_{3}^{3}\end{bmatrix}}$

Notación de Cauchy

Se utilizan elementos distintos uno para cada columna y a cada elemento se le acompaña de un subíndice que indica la fila del elemento.

Notación más usada

Se utiliza un elemento único acompañado de doble subíndice, de manera tal que el par de valores indique la fila y la columna en ese orden.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila $i\,\!$—ésima y la columna $j\,\!$—ésima se le llama entrada $i,j\,\!$ o entrada $(i,j)\,\!$—ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz $\mathbb {A}$ que se encuentra en la fila $i-\,\!$ésima y la columna $j-\,\!$ésima se le denota como $a_{ij}\,\!$, donde $1\leq i\leq n$ y $1\leq j\leq m$. Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un $i\,\!$ o un $j\,\!$ con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz $\mathbb {A}$ de tamaño $50\times 100$ se representa como $a_{1,2}\,\!$ mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como $a_{23,100}\,\!$.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así $\mathbb {A}$ es una matriz, mientras que $A\,\!$ es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si son genéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columa en que se encuentra, así a23 hace referencia al elemento que se encuentra en la fila 2 columa 3. Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es:

Dada la matriz $\mathbb {A} \in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

$\mathbb {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. $A:=(a_{ij})\,\!$ o incluso $A:=a_{ij}\,\!$.

Grado de una matriz

El grado de una matriz es la cantidad de elementos que tiene por fila o por columna (si es cuadrada) o la raíz cuadrada del número total de elementos.

Tamaño de una Matriz

La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas. Reiterando, la dimensión de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
O sea que si se anota $\mathbb {C} _{7\times 5}(\mathbb {R} )$ significa que se nombra $\mathbb {C}$ a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La letra $(\mathbb {R} )$ significa que sus elementos son números reales.

Ejemplos

Dada la matriz $\mathbb {G} \in {\mathcal {M}}_{4\times 3}(\mathbb {R} )$

$\mathbb {G} ={\begin{bmatrix}7&5&1\\3&6&4\\1&5&9\\8&3&0\end{bmatrix}}$

es una matriz de tamaño $4\times 3$. La entrada $g_{2,3}\,\!$ es 4.

La matriz $\mathbb {F} \in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {R} )$

$\mathbb {F} ={\begin{bmatrix}1&4&3&7&5&9&2&8&6\end{bmatrix}}$

es una matriz de tamaño $1\times 9$: un vector fila con 9 entradas.

Finalmente una matríz genérica se representa: $\mathbb {A} \in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )$

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

Y una matríz columna genérica $\mathbb {B} \in {\mathcal {M}}_{m\times 1}(\mathbb {R} )$

(1)

${\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$