Cuantificador

indicador en la lógica formal que cuantifica la cantidad de veces que se repite un elemento con una determinada característica

En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:[1]

Para todo x, y...
Existe al menos un x, y...
Existe exactamente un x, y...
  • Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...


Historia

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El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores (  y  ) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

  • Primer capítulo: está formado por las ideas básicas y notaciones, donde aparecen los cuantificadores universales, la negación y la condicional.
  • Segundo capítulo: declaración de axiomas.

Declaraciones cuantificadas

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Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

  •  

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

  •  

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

  •  

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

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Cuantificación universal

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El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

 
Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

 
Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial

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El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto   (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

 
Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

 
El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única

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El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

 

Se lee:

Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

Equivalencias

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Se tienen las siguientes relaciones universales:

 
Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).
 
Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

El cuantificador existencial único puede definirse como extensión en un lenguaje formal de la siguiente manera:

 
Afirmar que existe un único x en A que satisface P(x) es el equivalente a afirmar la existencia de algún x en A que satisface P(x), y además, para cada y y z en A, si se satisfacen P(y) y P(z) entonces y y z deben ser iguales.

Leyes de De Morgan

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Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

  •  
La negación es falsa si para todo   el predicado es verdadero. Por el contrario, es verdadera si existe un   para el que   es falsa.
  •  
La negación es verdadera si para todo   la función proposicional   de   es falsa y es falsa si existe un   para el que   es verdadera.

Prelación de los cuantificadores

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El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores   y   tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos   el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador  . Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico ( ) se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación  

Un error muy común es considerar que   es lo mismo que   cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería  .

Reglas de intercambio

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  • Primera regla:
Un cuantificador universal ( ) afirmativo se asemeja a la negación de un cuantificador existencial (  ) y del predicado.
 
Para todos los  ,   es cierta, esto equivale a que es falso que alguna   no sea  .
  • Segunda regla:
Un cuantificador existencial (  ) afirmativo se asemeja a la negación cuantificador universal ( ) y del predicado.
 
Existe alguna   en la que   es cierta, esto es equivalente a decir que ninguna   no es  .
  • Tercera regla:
La negación de un cuantificador universal ( ) se asemeja a un cuantificador existencial (  ) con el predicado negado.
 
Es falso que todas las   son  , esto equivalente a que algunas   no son  .
  • Cuarta regla:
La negación de un cuantificador existencial ( ) se asemeja a un cuantificador universal (  ) con el predicado negado.
 
Es falso que algunas   sean  , equivale a todas las   no son  .

Véase también

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Enlaces externos

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Lógica de cuantificadores

Begriffsschrift

Referencias

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  1. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
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