Intersección de conjuntos
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares.
En otras palabras: Cómo, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A∩B = { a, e}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.
Definición
editarDados dos conjuntos A y B, su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a ambos conjunto. A = { π, c, 8, γ, 5, P} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.
- Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.
- Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:
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Generalizaciones
editarLa intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:
La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:
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De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:
- A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}
- A1 ∩ ... ∩ An = ∩M, donde M = {A1, ..., An}
La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:v
donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: i ∈ I}.
Propiedades
editarDe la definición de intersección puede deducirse directamente:
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La intersección de conjuntos poseen también propiedades similares a las operaciones con números:
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Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:
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- Se cumple que ∅ ⊂ A∩B∩C ⊂ A∩B ⊂ A ⊂ A∪B ⊂ A∪B∪C ⊂ Ω donde Ω es el conjunto universal.[1]
Teoría axiomática
editarEn las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Rojo. Álgebra I
Literatura del tema
editar- Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.
- Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
- Yu. M. Korshunov. Fundamentos matemáticos de la cibernética. Editorial Mir, Moscú s/f.