Física/Acústica/Efecto Doppler (sonido)

El efecto Doppler, llamado así por Christian Andreas Doppler, consiste en la variación de la longitud de onda de cualquier tipo de onda emitida o recibida por un objeto en movimiento. Doppler propuso este efecto en 1842 en una monografía titulada Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels ("Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros").

Diagrama del Efecto Doppler

Su hipótesis fue investigada en 1845 para el caso de ondas sonoras por el científico holandés Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot, confirmando que el tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja. Hippolyte Fizeau descubrió independientemente el mismo fenómeno en el caso de ondas electromagnéticas en 1848. En Francia este efecto se conoce como "Efecto Doppler-Fizeau".

Un micrófono inmóvil registra las sirenas de los policías en movimiento en diversos tonos dependiendo de su dirección relativa.

Hay ejemplos cotidianos de efecto Doppler en los que la velocidad a la que se mueve el objeto que emite las ondas es comparable a la velocidad de propagación de esas ondas. La velocidad de una ambulancia (50 km/h) no es insignificante respecto a la velocidad del sonido al nivel del mar (unos 1.235 km/h), por eso se aprecia claramente el cambio del sonido de la sirena desde un tono más agudo a uno más grave, justo en el momento en que el vehículo pasa al lado del observador.

Álgebra del efecto Doppler en ondas sonoras

Imaginemos que un observador O se mueve hacia una fuente S que se encuentra en reposo. El medio es aire y se encuentra en reposo. El observador O comienza a desplazarse hacia la fuente con una velocidad $v_{o}$. La fuente de sonido emite un sonido de velocidad $v$, frecuencia f y longitud de onda $\lambda$. Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será la v del aire, sino la siguiente:

$\ v'=v+v_{o}$. Sin embargo, no debemos olvidar que como el medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto si:

$\ v=f\cdot \lambda \Rightarrow f={\frac {v}{\lambda }}$

Pero como mencionamos en la primera explicación de este efecto, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente y la simbolizaremos con f'.

$\ f'={\frac {v'}{\lambda }}={\frac {v+v_{o}}{\lambda }}={\frac {v+v_{o}}{\frac {v}{f}}}=f\cdot {\frac {v+v_{o}}{v}}=f\cdot {\bigg (}1+{\frac {v_{o}}{v}}{\bigg )}$

El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que ${\bigg (}1+{\frac {v_{o}}{v}}{\bigg )}\geq 1$

Analicemos el caso contrario:

Cuando el observador se aleje de la fuente, la velocidad v' será $v'=v-v_{o}$ y de manera análoga podemos deducir que $f'=f\cdot {\bigg (}1-{\frac {v_{o}}{v}}{\bigg )}$. En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será menor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido de menor altura o más grave.

De estas dos situaciones concluimos que cuando un observador se mueve con respecto a una fuente en reposo, la frecuencia aparente percibida por el observador es:

$f'=f\cdot {\bigg (}1\pm {\frac {v_{o}}{v}}{\bigg )}$

Ahora consideraremos el caso donde el observador se encuentra en reposo y la fuente se mueve. Cuando la fuente se desplace hacia el observador, los frentes de onda estarán más cerca uno del otro. En consecuencia, el observador percibe sonidos con una menor longitud de onda. Esta diferencia de longitud de onda puede expresarse como:

$\Delta \lambda ={\frac {v_{s}}{f}}$

Por tanto, la longitud de onda percibida será:

$\lambda {\mathcal {'}}=\lambda -\Delta \lambda$

Como $\Delta \lambda ={\frac {v_{s}}{f}}$ podemos deducir que:

$f'={\frac {v}{\lambda '}}={\frac {v}{\lambda -\Delta \lambda }}={\frac {v}{\lambda -{\frac {v_{s}}{f}}}}={\frac {v}{{\frac {v}{f}}-{\frac {v_{s}}{f}}}}=f\cdot {\bigg (}{\frac {v}{v-v_{s}}}{\bigg )}=f\cdot {\bigg (}{\frac {1}{1-{\frac {v_{s}}{v}}}}{\bigg )}$

Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario (fuente alajándose), podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:

$f'=f\cdot {\bigg (}{\frac {1}{1\mp {\frac {v_{s}}{v}}}}{\bigg )}$

Cuando la fuente se acerque al observador se pondrá un (-) en el denominador, y cuando la fuente se aleje se lo reemplazará por un (+).

Al terminar de leer lo anteriormente expuesto surge la siguiente pregunta: ¿Qué pasará si la fuente y el observador se mueven al mismo tiempo?. En este caso particular se aplica la siguiente formula, que no es más que una combinación de las dos:

$f'=f\cdot {\bigg (}{\frac {v\pm v_{o}}{v\mp v_{s}}}{\bigg )}$

Los signos $\pm$ y $\mp$ deben ser respetados de la siguiente manera. Si en el numerador se suma, en el denominador debe restarse y viceversa.

Ejemplo:

Un observador se mueve con una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo emitiendo la nota La a 440 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá el observador? (Dato: $\ v_{sonido}=343m/s$).

Resolución: Si el observador se acerca hacia la fuente, esto implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real. Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.

$f'=f\cdot {\bigg (}1\pm {\frac {v_{o}}{v}}{\bigg )}$

$f'=440Hz\cdot {\bigg (}1+{\frac {42m/s}{343m/s}}{\bigg )}$

$\ f'=493,88Hz$

En este caso particular, el trompetista toca la nota La a 440 Hz, sin embargo el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 493,88 Hz, que es la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido un tono más arriba del que se emite realmente.