Continuidad absoluta

En cálculo, la continuidad absoluta es una propiedad de un función referida a su suavidad, que a su vez es una condición más restrictiva que la de ser simplemente continua y uniformemente continua. La noción de continuidad absoluta permite obtener ciertas generalizaciones de la relación entre dos operaciones fundamentales del cálculo, la derivación y la integración, expresadas mediante el teorema fundamental del cálculo en el marco de la integración de Riemann.

Esas generalizaciones se pueden formular también de la integración de Lebesgue. En ese caso se puede hablar tanto de "continuidad absoluta" de funciones, como de "continuidad absoluta" de medidas. La segunda de estas nociones puede generalizarse de varias maneras, así la generalización de la noción de derivada de una función lleva en el caso de una medida a la llamada derivada de Radon-Nikodym, o "densidad", de una medida.

Con respecto a las diferentes nociones de continuidad es útil, tener presente la siguiente cadena de implicaciones para funciones definidas sobre un conjunto compacto de números reales:

Continuidad absoluta ⊆ continuidad uniforme ⊆ continuidad (ordinaria)

y:

Diferenciable con continuidad ⊆ continuidad en el sentido de Lipschitz ⊆ continuidad absoluta ⊆ variación acotada ⊆ diferenciable casi en todas partes

Continuidad absoluta de funciones

Una función continua puede no ser absolutamente continua si no es uniformemente continua, lo que puede suceder si el dominio no es compacto. Algunos ejemplos de esto son las funciones tan(x) definida sobre [0, ${\frac {\pi }{2}}$ ), x² definida sobre la recta real, o sin(1/x) definida sobre (0, 1]).

Definición

Sea $I$ un intervalo de la recta real $\mathbb {R}$ . Una función $f\colon I\to \mathbb {R}$ es absolutamente continua sobre $I$ si para todo número positivo $\varepsilon$ , existe otro número positivo $\delta _{\varepsilon }$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos $(x_{k},y_{k})$ de $I$ con $x_{k},y_{k}\in I$ que satisface^[1]

$\sum _{k}\left(y_{k}-x_{k}\right)<\delta _{\varepsilon }$

entonces

$\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas sobre $I$ se designa como $\operatorname {AC} (I)$ .

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones para una función real f definida sobre un intervalo compacto [a,b] son equivalentes:^[2]

(1) f es absolutamente continua;

(2) f tiene derivada f ′ casi en todas partes, la derivada es integrable en el sentido de Lebesgue, y

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt

para todo x en [a,b];

(3) Existe una función g integrable en el sentido de Lebesgue y definida sobre [a,b] tal que

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt

para todo x en [a,b].

Si alguna de estas condiciones equivalentes se satisface entonces necesariamente se tendrá que g = f ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se denomina teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue, y fue demostrada por el propio Lebesgue.^[3]

Propiedades

Las suma o la resta de dos funciones absolutamente continuas también es absolutamente continua. Si las dos funciones están definidas sobre un intervalo cerrado y acotado, entonces su producto también es una función absolutamente continua.^[4]
Si una función absolutamente continua está definida sobre un intervalo cerrado y no se anula nunca sobre él, entonces su recíproco también es una función absolutamente continua.^[5]
Toda función absolutamente continua es uniformemente continua. Toda función lipschitziana es absolutamente continua.^[6]
Si f: [a,b] → R es absolutamente continua, entonces tiene variación acotada sobre [a,b].^[7]
Si f: [a,b] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad N de Luzin (es decir, para cualquier $L\subseteq [a,b]$ tal que $\lambda (L)=0$ , se cumple que $\lambda (f(L))=0$ , donde $\lambda$ se refiere a la medida de Lebesgue sobre R).
f: I → R es absolutamente continua si y sólo si es continua, de variación acotada y tiene la propiedad N de Luzin.

Ejemplos

Las siguientes funciones son continuas casi en todas partes pero no son absolutamente continuas:

la función de Cantor;
la función

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

definida en un intervalo finito que contiene al origen;

la función f(x) = x² sobre un intervalo no acotado.

Generalizaciones

Sea (X, d) un espacio métrico y sea I un intervalo de la recta real R. Una función f: I → X es absolutamente continua sobre I si prara cualquier número positivo $\varepsilon$ , hay otro número positivo $\delta$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos [x_k, y_k] de I que satisface

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

entonces

$\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota como AC(I; X).

Una generalización adicional es el espacio AC^p(I; X) de curvas f: I → X tales que^[8]

$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ para todo }}[s,t]\subseteq I$

para algún m en el espacio L^p(I).

Continuidad absoluta de medidas

Definición

Una medida $\mu$ sobre el álgebra de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue $\lambda$ (en otras palabras, dominada por $\lambda$ ) si para cualquier conjunto medible $A$ , $\lambda (A)=0$ implica $\mu (A)=0$ . Esto se denota como $\mu \ll \lambda$ .

En la mayor parte de aplicaciones, si una medida sobre la recta real se dice que una "medida es absolutamente continua", sin especificar con respecto a que otra medida es absolutamente continua, entonces se sobre entiende que se está hablando respecto a la medida de Lebesgue. Lo mismo se aplica para $\mathbb {R} ^{n},n=1,2,3,\dots$

Referencias

↑ Royden, 1988, Sect. 5.4, page 108;Nielsen, 1997, Definition 15.6 on page 251;Athreya y Lahiri, 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval $I$ is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
↑ Nielsen, 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden, 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya y Lahiri, 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
↑ Athreya y Lahiri, 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.
↑ Royden, 1988, Problem 5.14(a,b) on page 111.
↑ Royden, 1988, Problem 5.14(c) on page 111.
↑ Royden, 1988, Problem 5.20(a) on page 112.
↑ Royden, 1988, Lemma 5.11 on page 108.
↑ Ambrosio, Gigli y Savaré, 2005, Definition 1.1.1 on page 23

Bibliografía

Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7 .
Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X .
Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7 .
Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third edición), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3 .

Enlaces externos

Datos: Q332504

[1] Royden, 1988, Sect. 5.4, page 108;Nielsen, 1997, Definition 15.6 on page 251;Athreya y Lahiri, 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval $I$ is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.

[2] Nielsen, 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden, 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya y Lahiri, 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.

[3] Athreya y Lahiri, 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.

[4] Royden, 1988, Problem 5.14(a,b) on page 111.

[5] Royden, 1988, Problem 5.14(c) on page 111.

[6] Royden, 1988, Problem 5.20(a) on page 112.

[7] Royden, 1988, Lemma 5.11 on page 108.

[8] Ambrosio, Gigli y Savaré, 2005, Definition 1.1.1 on page 23

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