Grado sexagesimal

Un grado sexagesimal (símbolo °)^[1]^[2] es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.^[3]

Representación de un ángulo de 1°

Historia

Un círculo con una cuerda equilátera (rojo). La sexagésima parte de este arco es un grado. Seis de estas cuerdas completan el círculo.^[4]

Se desconoce la motivación original para elegir el grado como unidad de rotaciones y ángulos. Una teoría afirma que está relacionada con el hecho de que 360 es aproximadamente el número de días de un año.^[3] Los antiguos astrónomos se dieron cuenta de que el sol, que sigue a través de la trayectoria de la eclíptica en el transcurso del año, parece avanzar en su trayectoria aproximadamente un grado cada día. Algunos calendarios antiguos, como el calendario persa y el calendario babilónico, utilizaban 360 días para un año. El uso de un calendario con 360 días puede estar relacionado con el uso de números sexagesimales.

Otra teoría es que los babilonios subdividieron el círculo utilizando el ángulo de un triángulo equilátero como unidad básica, y además subdividieron éste en 60 partes siguiendo su sistema numérico sexagesimal.^[5]^[6] La primera trigonometría, utilizada por la astrónomos babilónicos y sus sucesores griega, se basaba en la acordes de un círculo. Una cuerda de longitud igual al radio constituía una cantidad base natural. Una sexagésima parte de ésta, utilizando sus divisiones sexagesimales estándar, era un grado.

Aristarco de Samos e Hiparco parecen haber estado entre los primeros científicos griegos en explotar sistemáticamente los conocimientos y técnicas astronómicas babilónicas.^[7]^[8] Timocharis, Aristarco, Aristilo, Arquímedes e Hiparco fueron los primeros griegos conocidos en dividir el círculo en 360 grados de 60 minutos de arco.^[9] Eratóstenes utilizó un sistema sexagesimal más sencillo que dividía un círculo en 60 partes.

Otra motivación para elegir el número 360 puede haber sido que es fácilmente divisible: 360 tiene 24 divisores,^[10] convirtiéndolo en uno de los únicos 7 números tales que ningún número menor que el doble tiene más divisores (sucesión A072938 en OEIS).^[11]^[12] Además, es divisible por todos los números del 1 al 10 excepto por el 7.^[13] Esta propiedad tiene muchas aplicaciones útiles, como la división del mundo en 24 zonas horarias, cada una de las cuales es nominalmente 15° de longitud, para correlacionar con la convención establecida de 24 horas día establecido.

Por último, puede darse el caso de que más de uno de estos factores haya entrado en juego. Según esa teoría, el número es aproximadamente 365 debido al movimiento aparente del sol contra la esfera celeste, y que se redondeó a 360 por algunas de las razones matemáticas citadas anteriormente.

Definiciones

Círculo trigonométrico

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores, el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Esta notación sexagesimal tiene su origen en Mesopotamia, donde los astrónomos y matemáticos usaron para sus cálculos frecuentemente números en sistema sexagesimal, lo cual facilitaba sus cálculos.

Notación sexagesimal

Podemos expresar una cantidad en grados, minutos y segundos; las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo. Ejemplo:

12°34′34″

13°3′23,8″

124°45′34,70″

-2°34′10″

Teniendo cuidado, como norma de notación, de no dejar espacio entre las cifras; es decir:

escribir 12°34′34″ y no 12° 34′ 34″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:

1′ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1″ = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°

Así, 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal; se divide entre 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales. Lo que se busca es transformar el minuto y el segundo en números decimales. Por ejemplo:

23,2345°

12,32°

-50,265°

123,696°

Relación entre radianes y grados sexagesimales

El Círculo Unitario muestra la relación entre radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de una circunferencia completa tiene $2\pi$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

{\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}

{\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

{\begin{array}{ccc}180^{\circ }&\longrightarrow &{\pi }\;{radianes}\\g&\longrightarrow &r\end{array}}

Luego tenemos que, para un ángulo g dado en grados, su equivalente r en radianes es:

r=g\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {radianes}}

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo r dado en radianes, su equivalente g en grados es):

g=r\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {grados}}

Diferencia entre radián, gradián y grado sexagesimal

Los tres son unidades de medida de ángulos planos, y se diferencian así:

Radián (rad): arco cuya longitud es la del radio.
Gradián o grado centesimal (g): arco cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia.
Grado sexagesimal (°): arco cuya longitud es la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia.

Conversión de ángulos comunes

Conversión de ángulos comunes
Revolución	Radian			Grado sexagesimal	Gradián	Miliradián			Puntos del compás
0 de circulo	0 rad			0°	0^g	0 mrad			0 pt
1/72 de circulo	π/36 rad	𝜏/72 rad ^[a]	≈ 0,08727 rad	5°	50/9^g	250π/9 mrad	125𝜏/9 mrad	≈ 87,266 mrad	4/9 pt
1/24 de circulo	π/12 rad	𝜏/24 rad	≈ 0,2618 rad	15°	50/3^g	250π/3 mrad	125𝜏/3 mrad	≈ 261,799 mrad	4/3 pt
1/16 de circulo	π/8 rad	𝜏/16 rad	≈ 0,3927 rad	22,5° o 22°30′	25^g	125π mrad	125𝜏/2 mrad	≈ 392,699 mrad	2 pt
1/12 de circulo	π/6 rad	𝜏/12 rad	≈ 0,5236 rad	30°	100/3^g	500π/3 mrad	250𝜏/3 mrad	≈ 523,599 mrad	8/3 pt
1/10 de circulo	π/5 rad	𝜏/10 rad	≈ 0,6283 rad	36°	40^g	200π mrad	100𝜏 mrad	≈ 628,319 mrad	16/5 pt
1/8 de circulo	π/4 rad	𝜏/8 rad	≈ 0,7854 rad	45°	50^g	250π mrad	125𝜏 mrad	≈ 785,398 mrad	4 pt
1/2π de circulo	1 rad			180/π°	200/π^g	1000 mrad			16/π pt
1/6 de circulo	π/3 rad	𝜏/6 rad	≈ 1,047 rad	60°	200/3^g	1000π/3 mrad	500𝜏/3 mrad	≈ 1047,198 mrad	16/3 pt
1/5 de circulo	2π/5 rad	𝜏/5 rad	≈ 1,257 rad	72°	80^g	400π mrad	200𝜏 mrad	≈ 1256,637 mrad	32/5 pt
1/4 de circulo	π/2 rad	𝜏/4 rad	≈ 1,571 rad	90°	100^g	500π mrad	250𝜏 mrad	≈ 1570,796 mrad	8 pt
1/3 de circulo	2π/3 rad	𝜏/3 rad	≈ 2,094 rad	120°	400/3^g	2000π/3 mrad	1000𝜏/3 mrad	≈ 2094,395 mrad	32/3 pt
2/5 de circulo	4π/5 rad	2𝜏/5 rad	≈ 2,513 rad	144°	160^g	800π mrad	400𝜏 mrad	≈ 2513,274 mrad	64/5 pt
1/2 de circulo	π rad	𝜏/2 rad	≈ 3,142 rad	180°	200^g	1000π mrad	500𝜏 mrad	≈ 3141,593 mrad	16 pt
3/4 de circulo	3π/2 rad	3𝜏/4 rad	≈ 4,712 rad	270°	300^g	1500π mrad	750𝜏 mrad	≈ 4712,389 mrad	24 pt
1 circulo	2π rad	𝜏 rad	≈ 6,283 rad	360°	400^g	2000π mrad	1000𝜏 mrad	≈ 6283,185 mrad	32 pt

↑ En esta tabla, $𝜏$ equivale a $2 π$ .

Referencias

↑ HP 48G Series – User's Guide (UG) (8 edición). Hewlett-Packard. December 1994. HP 00048-90126, (00048-90104). Consultado el 6 de septiembre de 2015.
↑ HP 50g graphing calculator user's guide (UG) (1 edición). Hewlett-Packard. 1 de abril de 2006. HP F2229AA-90006. Consultado el 10 de octubre de 2015.
↑ ^a ^b Weisstein, Eric W. «Degree». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 31 de agosto de 2020.
↑ Euclides (2008). «Libro 4». Euclid's Elements of Geometry (2 edición). Princeton University Press. ISBN 978-0-6151-7984-1. [1]
↑ Jeans, James Hopwood (1947). .210060 The Growth of Physical Science. Cambridge University Press (CUP). p. . 210060/page/n25 7.
↑ Francis Dominic Murnaghan (1946). Geometría Analítica. p. 2.
↑ Rawlins, Dennis. htm#dqsr «Sobre Aristarco». DIO - the International Journal of Scientific History.
↑ Toomer, Gerald James. Hipparchus and Babylonian astronomy.
↑ 2 (Footnote 24). «Aristarchos Unbound: Visión Antigua / El Universo-Escala Colosal de los Heliocentristas / La Inversión Colosal de los Historiadores de los Grandes y Falsos Antiguos / ¡La Historia de la Astronomía y la Luna Retrógrada!». DIO - the International Journal of Scientific History 14. March 2008. p. 19. ISSN 1041-5440. Consultado el 16 de octubre de 2015.
↑ Los divisores de 360 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360.
↑ Werner. brefeld.homepage.t-online.de/teilbarkeit.html «Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen» [Divisibilidad de los números altamente compuestos] (en alemán). Texto «Brefeld» ignorado (ayuda)
↑ Werner Brefeld (2015). (desconocido). Rowohlt Verlag.
↑ Contrastar esto con el relativamente poco manejable 2520, que es el mínimo común múltiplo de todos los números del 1 al 10.

Véase también

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Grado sexagesimal.
Weisstein, Eric W. «Degree». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q28390
Multimedia: Degree (angle) / Q28390

[14] En esta tabla, $𝜏$ equivale a $2 π$ .

[HP48_UG-1] HP 48G Series – User's Guide (UG) (8 edición). Hewlett-Packard. December 1994. HP 00048-90126, (00048-90104). Consultado el 6 de septiembre de 2015.

[HP50g_UG-2] HP 50g graphing calculator user's guide (UG) (1 edición). Hewlett-Packard. 1 de abril de 2006. HP F2229AA-90006. Consultado el 10 de octubre de 2015.

[:1-3] Weisstein, Eric W. «Degree». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 31 de agosto de 2020.

[4] Euclides (2008). «Libro 4». Euclid's Elements of Geometry (2 edición). Princeton University Press. ISBN 978-0-6151-7984-1. [1]

[5] Jeans, James Hopwood (1947). .210060 The Growth of Physical Science. Cambridge University Press (CUP). p. . 210060/page/n25 7.

[6] Francis Dominic Murnaghan (1946). Geometría Analítica. p. 2.

[7] Rawlins, Dennis. htm#dqsr «Sobre Aristarco». DIO - the International Journal of Scientific History.

[8] Toomer, Gerald James. Hipparchus and Babylonian astronomy.

[9] 2 (Footnote 24). «Aristarchos Unbound: Visión Antigua / El Universo-Escala Colosal de los Heliocentristas / La Inversión Colosal de los Historiadores de los Grandes y Falsos Antiguos / ¡La Historia de la Astronomía y la Luna Retrógrada!». DIO - the International Journal of Scientific History 14. March 2008. p. 19. ISSN 1041-5440. Consultado el 16 de octubre de 2015.

[note-10] Los divisores de 360 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360.

[Brefeld-11] Werner. brefeld.homepage.t-online.de/teilbarkeit.html «Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen» [Divisibilidad de los números altamente compuestos] (en alemán). Texto «Brefeld» ignorado (ayuda)

[Brefeld_2015-12] Werner Brefeld (2015). (desconocido). Rowohlt Verlag.

[note1-13] Contrastar esto con el relativamente poco manejable 2520, que es el mínimo común múltiplo de todos los números del 1 al 10.

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