Comptoni hajumine

Comptoni hajumine on elektromagnetlainete mitteelastne hajumine laetud osakestelt, tavaliselt vabadelt elektronidelt. Comptoni hajumise esmauurija oli A. H. Compton. Comptoni efekt on hajumisel ilmnev elektromagnetlainete võnkumise sageduse vähenemine (lainepikkuse suurenemine) osakestele energia üleandmise tõttu, ta on eelkõige jälgitav suurte sageduste korral (vähemalt röntgenikiirgus). Eksisteerib ka Comptoni pöördhajumine ja -efekt, kus elektromagnetkiirguse sagedus suureneb laetud osakestelt energia juurdesaamise tõttu.

Sissejuhatus

Kuigi Comptoni efekt ilmnes juba esimestel katsetel röntgeni- ja gammakiirgusega, siis Comptoni hajumist kirjeldas piisava täpsuse ja põhjalikkusega esimesena A. H. Compton 1922. aastal (avaldati 1923). Compton tuletas valemi hajumisel ilmneva lainepikkuse muutuse ja ligikaudse seose hajunud kiirguse intensiivsuse jaotuse kirjeldamiseks kiirguse kvantiseloomust lähtudes ning kontrollis efekti hajumiseksperimendis grafiidilt röntgenikiirgusega. Hajumise kirjeldamisel üksnes klassikalise elektrodünaamika piirides (Thomsoni hajumine) peab olema hajunud kiirgus sama sagedusega (lainepikkusega), mis pealelangenud kiirguski, mis aga Comptoni hajumise korral ei kehti. Seega on Comptoni efekt üheks tõendiks elektromagnetkiirguse korpuskulaarsele iseloomule, footonite olemasolule. Hajumisel ilmneva efekti avastamise eest autasustati Comptonit 1927. aastal Nobeli auhinnaga.

Comptoni efekti ja hajumist on kasutatud paljudes hilisemates eksperimentides. Näiteks Comptoni hajumist kasutati Bohri-Kramersi-Slateri-teooria ümberlükkamisel, mis oli üks viimastest nn vana kvantmehaanika teooriatest. W. Bothe ja H. Geiger kinnitasid impulsi ja energia jäävust elementaarsetes aine-elektromagnetvälja interaktsioonides, jälgides üksikuid Comptoni hajumisprotsesse, ning samade tulemusteni jõudsid Compton ja Simon.

Kui elektromagnetkiirguse kvantide energia on palju suurem kui elektronide seoseenergia, on footonite hajumine kirjeldatav Comptoni hajumisena. 1 MeV juures on Comptoni hajumine peamiseks gammakiirguse ja aine vahelise mõju liigiks, ta on üks peamistest gammakiirguse energia kaotamise mehhanismidest. Thomsoni hajumine on Comptoni hajumise väikese-energialine piirjuht. Palju väiksemate energiate korral (väljumistöö suurusjärgus) on peamiseks kiirguse ja aine vastasmõju ilminguks fotoelektriline efekt, ilma olulise hajumise mõjuta; suurematel energiatel (minimaalselt elektroni ja positroni seisuenergiate summa, 1,022 MeV), kui footon jõuab tungida aatomituumani, kus on võimalik täita paaritekkeks vajalikke tingimusi, kujuneb peamiseks vastasmõju tüübiks paaride teke.

Comptoni hajumise kirjeldus

Comptoni hajumise elementaarne teooria

Comptoni efekti elementaarne teooria on tuletatav puhtalt kinemaatilistest kaalutlustest erirelatiivsusteooria piirides, kui lisaks eeldada valguse kvantiseloomus Plancki valemi kehtimist, nagu seda on tehtud Comptoni algartiklis, mistõttu ta jääb kehtima ka täpsemas käsitluses. Hajumist iseloomustav suurus, enne ja pärast hajumist kiirguse lainepikkuste vahe, avaldub kujul

$\Delta \lambda =\lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos \theta )$,

kus $\lambda$ on esialgse kiirguse lainepikkus, $\lambda '$ on hajunud kiirguse lainepikkus, $h$ on Plancki konstant, $m_{e}$ on elektroni seisumass (mis võib olla asendatud mõne muu laetud osakese massiga), $c$ on valguse kiirus ja $\theta$ on hajumisnurk. Suurust ${\frac {h}{m_{e}c}}\approx 2{,}43\cdot 10^{-12}\ \mathrm {m}$ nimetatakse elektroni Comptoni lainepikkuseks, teiste osakeste korral tuleb Comptoni lainepikkus erinev. Comptoni efekti kirjeldavast seosest järeldub, et lainepikkuste nihe on suurim tagasisuunas ning et elektronidest oluliselt massiivsemate osakeste (või nt aatomituumade) kasutamisel on lainepikkuste nihe oluliselt vähem jälgitav. Comptoni hajumise ilmnemiseks on oluline, et laetud osake oleks vaba või käsitletav vabana, vastasel juhul tuleb arvestada vastasmõju teiste osakestega või ülejäänud aatomiga.

Tuletuskäik

Langegu elektromagnetkiirgus vabale laetud osakesele. Olgu osake esialgu paigal. Olgu kiirgust iseloomustavad suurused tähistatud alaindeksiga $\gamma$ ja osakest iseloomustavad suurused alaindeksiga $e$, indeksid suurustele või suurused ise enne hajumist ilma priimita ja pärast hajumist priimiga. Olgu hajumisnurk $\theta$.

Kirjutame energia jäävuseks

$E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}$

ja impulsi jäävuseks (ehk kokku 4-impulsi jäävuse)

$\mathbf {p} _{\gamma }=\mathbf {p} _{\gamma '}+\mathbf {p} _{e'}$,

sest osake on esialgu paigal, $\mathbf {p} _{e}=0$. Eeldame kiirguse jaoks kvantiseloomu, mistõttu energia $E_{\gamma }=h\nu$, kus $\nu$ on kiirguse sagedus, ning kiirguse poolt kantava impulsi jaoks $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$. Osakese impulsi jaoks kasutame relativistlikku energia-impulsi seost. Seepärast saame energia jäävusest

$h\nu +m_{e}c^{2}=h\nu '+{\sqrt {p_{e'}^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}$,

mille ruutu tõstmisel

$p_{e'}^{2}c^{2}=(h\nu +m_{e}c^{2}-h\nu ')^{2}-m_{e}^{2}c^{4}$.

Olgu märgitud, et elektroni poolt saadud impulss on suurem kui kiirguse poolt kaotatud impulss,

${\frac {1}{c}}{\sqrt {(h\nu +m_{e}c^{2}-h\nu ')^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}}>{\frac {h\nu -h\nu '}{c}}$,

mis on relativistlik efekt.

Impulsi jäävusest tuleneb

$\mathbf {p} _{e'}=\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '}$.

Selle avaldise skalaarruut on

$p_{e'}^{2}=p_{\gamma }^{2}+p_{\gamma '}^{2}-2p_{\gamma }p_{\gamma '}\cos \theta$

ehk, kui korrutada läbi suurusega $c^{2}$ ning asendada $p_{\gamma }={\frac {h\nu }{c}}$,

$p_{e'}^{2}c^{2}=h^{2}\nu ^{2}+h^{2}{\nu '}^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta$.

Võrdsustades selle avaldisega $p_{e'}^{2}c^{2}$, mis tuletati energia jäävusest, saab

$(h\nu +m_{e}c^{2}-h\nu ')^{2}-m_{e}^{2}c^{4}=h^{2}\nu ^{2}+h^{2}{\nu '}^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta$.

Pärast lihtsustamist

$2h\nu m_{e}c^{2}-2h\nu 'm_{e}c^{2}=2h^{2}\nu \nu '(1-\cos \theta )$.

Kui jagada läbi suurusega $2h\nu \nu 'm_{e}c$, siis

${\frac {c}{\nu '}}-{\frac {c}{\nu }}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos \theta )$

ehk minnes üle lainepikkustele,

$\lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos \theta )$,

mis ongi Comptoni efekti kirjeldav valem tuntud kujul.

Comptoni hajumine kvantelektrodünaamikas

Comptoni hajumise Feynmani diagrammid

Comptoni hajumise täielik kirjeldus on võimalik kvantelektrodünaamikas, kus saab tuletada üldise valemi, mis annab diferentsiaalse mõjuristlõike sõltuvuse hajumisnurgast. Esimesena tuletasid selle seose O. Klein ja Y. Nishina. Madalaimat järku häiritusteooria lähenduses kvantelektrodünaamikas ilmnevad hajumises kaks võimalikku protsessi, mis avaldavad mõju üleminekuamplituudi. Comptoni hajumist iseloomustava valemi tuletamiseks arvutatakse kahele protsessile vastavate Feynmani diagrammide põhjal üleminekuamplituudid, millest tuletatakse summaarne diferentsiaalne mõjuristlõige. Sel juhul saadakse hajumisel fermionidelt (spinn-keskmistatud) Kleini-Nishina valem, mis on tuletatud näiteks raamatus :

${\frac {\operatorname {d} \!\sigma }{\operatorname {d} \!\Omega }}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{C}^{2}}{2}}\left({\frac {\omega '}{\omega }}\right)^{2}\left[{\frac {\omega '}{\omega }}+{\frac {\omega }{\omega '}}-\sin ^{2}\theta \right]$,

kus $\operatorname {d} \!\sigma$ on diferentsiaalne mõjuristlõige, $\operatorname {d} \!\Omega$ on diferentsiaalne ruuminurk, $\alpha$ on peenstruktuurikonstant, $\lambda _{C}={\frac {\hbar }{m_{e}c}}$ on taandatud Comptoni lainepikkus ning $\omega$ ja $\omega '$ on kiirguse ringsagedused enne ja pärast hajumist, millevaheline seos on tuletatav Comptoni lainepikkuste nihke valemi alusel.

Kleini-Nishina valemi järgi arvutatud diferentsiaalne mõjuristlõige erinevates suundades

Kleini-Nishina valemi abil on võimalik lisaks lainepikkuse muutusele ka sobivalt teisendades kirjeldada kiirguse intensiivsuse nurgasõltuvusi. Antud seos on heas kooskõlas hajumiseksperimentide tulemustega. Kiirguse energia suurenedes koondub hajunud kiirgus peamiselt esialgse kiirguse suunda. Klassikalisel piirjuhul $h\nu \ll mc^{2}$, kui footoni energia on palju väiksem kui osakese energia, saadakse Thomsoni hajumisele vastav valem.

Kaasnähtused

Comptoni pöördhajumine

Nähtust, kus suure energiaga (relativistlikelt) laetud osakestelt hajunud elektromagnetkiirguse sagedus suureneb, s.o footonite energia suureneb elektronide energia ja impulsi arvelt, nimetatakse Comptoni pöördhajumiseks. Comptoni pöördhajumist kasutatakse galaktikatuumadest pärineva kosmilise gammakiirguse tekke seletamisel, kus erinevates mudelites võib gammakiirgus tekkida kiirguse hajumisel suure energiaga elektronidelt relativistlikus joas, kiirgusallikaks võib olla ümbritsev akretsiooniketas, sünkrotronikiirgus jne. Analoogiliselt kasutatakse Comptoni pöördefekti teiste kosmiliste röntgeni- või gammakiirguse allikate kiirgamise mehhanismi seletamisel, ta on üks tähtsamatest kosmilise mikrolainelise taustkiirguse kõikumiste tekkepõhjustest (vt Sunjajevi-Zeldovitši efekt). Comptoni pöördhajumist kasutatakse gammakiirguse tekitamisel madalamaenergilisest kiirgusest, mis võib näiteks pärineda optilises diapasoonis töötavast laserist.

Mitmekordne Comptoni efekt

On võimalik, et kiirguse hajumisel pärast neeldumist ei kiirata mitte üks, vaid kaks footonit, mida tuntakse kahekordse Comptoni efektina, üldiselt mitmekordne, n-kordne. Optilises piirkonnas on üleminekutõenäosus kahe footoni kiirgamiseks väga väike, suuremate energiate korral on tõenäosus suurem, kuid siiski ligikaudu $1/137$ ühe footoni kiirgamise tõenäosusest. Üldiselt n-kordse hajumise mõjuristlõige on suurte energiate korral suurusjärgus $(1/137)^{n-1}$, võrreldes tavalise Comptoni hajumisega; mitmekordsest hajumisest tingitud parandeid võib olla vaja arvestada ühekordse Comptoni hajumise nähtustes. Tõendeid mitmekordse Comptoni hajumise olemasolu kohta võib leida näiteks eksperimentides kosmilise kiirgusega.

Rakendused

Comptoni hajumine ilmneb röntgeni- ja gammakiirgust kasutatavates seadmetes tihti müraallikana, aga teda kasutatakse ka otse uuritava kiirgusena. Röntgeno- ja gammaspektroskoopias põhjustab Comptoni hajumine detektoris ümbritsevalt kestalt tagasihajunud kiirguse lisamõju, mis võib raskendada tulemuste analüüsi. Seetõttu võidakse hajunud kiirguse osa summutada. Samas on Comptoni hajumine mõne gammakiirguse detektori (nt Comptoni teleskoop) või gamma- või röntgenospektroskoobi töö aluseks. Comptoni hajumise läbinud kiirte uurimisel põhinevad mõned meetodid elektronide lainefunktsiooni kuju ja impulsi jaotuse uurimiseks hajutavas materjalis. Comptoni hajumist saab veel kasutada aatomituumade ehituse ja elementaarosakeste polarisatsiooni uurimisel.

Meditsiinis on Comptoni hajumine oluline kiirguse ja inimkeha vahelise mõju liik röntgenuuringute iseloomulikus energiapiirkonnas ning on sageli peamiseks röntgenipildi kontrastsust piiravaks tingimuseks, mistõttu üldjuhul püütakse tema mõju vähendada. Ühtlasi võib hajunud kiirgus ohustada röntgenuuringutel kõrvalviibijaid. Näiteks mõnes radiograafia valdkonnas moodustatakse pilt aga just hajunud kiirguse uurimise teel.