Lainefunktsioon

Lainefunktsioon ehk olekufunktsioon (ka leiulaine või psiifunktsioon^[1]; tähis $\Psi$ või $\psi$ , vastavalt "suur psii" ja "väike psii") on matemaatiline funktsioon, mis näitab algosakese kvantmehaanilist olekut (kvantolekut). Seda tuntakse ka tõenäosusamplituudi ja Schrödingeri võrrandi lahendina.^[2] See aitab kirjeldada näiteks elektroni asukohta aatomis.^[3]

Lainefunktsiooni väärtus üldjuhul $\psi =\psi ({\bar {r}},t)$ on komplekssuurus, ta väärtus erineb erinevate ${\bar {r}}$ ja $t$ korral. Samuti sõltub ta ruumikoordinaatidest. Kolmemõõtmelises ruumis esitatakse lainefunktsioon kujul $\Psi (x,y,z)$ . Üldjuhul sõltub see ka ajast ning esitatakse kujul $\Psi (x,y,z,t)$ , kus $t$ on aeg. Aatomorbitaalide kirjeldamisel kasutatakse lainefunktsiooni argumentidena sfäärilisi polaarkoordinaate $(r,\theta ,\phi )$ , mis kirjeldavad aatomi tuuma ümber paiknevat ruumipunkti.

Füüsikalise tähenduse andis lainefunktsioonile Max Born, kes väitis, et lainefunktsioon aja ja asukoha funktsioonina annab osakese leidmise tõenäosuse mingis ruumipunktis.^[4] Osakese tõenäosustiheduse leidmiseks mingis ruumiosas tuleb võtta lainefunktsioonist ruut samas ruumipunktis. Lainefunktsiooni mooduli ruut $|\Psi |^{2}$ on reaalarv ning see väljendab osakese leidmise tõenäosust kindlas ruumipunktis.

Vastavalt superpositsiooni printsiibile kvantmehaanikas, saab lainefunktsioonidest liita ja korrutada kompleksarve, et moodustada uusi lainefunktsioone ja Hilberti ruum.

Ajalugu

1905. aastal postuleeris Albert Einstein võrdelisuse footoni sageduse $f$ ja ta energia $E$ vahel, $E=hf$ , ning 1916. aastal vastava seose footoni impulsi $p$ ja lainepikkuse $\lambda$ , $\lambda ={\frac {h}{p}}$ , kus $h$ on Plancki konstant. Aastal 1923 pakkus De Broglie välja mõtte, et võrrand $\lambda ={\frac {h}{p}}$ , mida edaspidi nimetati De Broglie võrrandiks, kehtib ka massiga osakeste jaoks. Põhilise tõestuse andis sellele Lorentzi kovariantsus. Eelnevat võib vaadelda kui kvantmehaanika kaasaegse arengu lähtepunkti. Mõlemad võrratused kujutavad endast laine-osakese dualismi nii massiga kui ka massita osakeste jaoks.

1920. ja 1930. aastatel arendati kvantmehaanikat edasi matemaatilise analüüsi ja lineaaralgebraga. Matemaatilist analüüsi kasutasid Louis de Broglie, Erwin Schrödinger ning teised, kes töötasid välja lainemehaanika. Lineaaralgebrat kasutasid Werner Heisenberg, Max Born ning teised, töötades välja maatriksmehaanika. Schrödinger näitas hiljem, et need kaks lähenemist on ekvivalentsed.

Aastal 1926 avaldas Schödinger oma kuulsa lainevõrrandi, mida nüüd nimetatakse tema auks Schrödingeri võrrandiks. Võrrand põhines klassikalisel energia jäävusel, kasutades kvantoperaatoreid ja De Broglie võrrandit. Lahendiks olid võrrandil vastava kvantsüsteemi lainefunktsioonid. Ent siiski polnud selge, kuidas seda tõlgendada. Esmalt arvasid Schrödinger ja teised, et lainefunktsioonid kujutavad osakesi, mis on laiali puistatud, enamus osakesi olles seal, kus lainefunktsioon on suur.^[5] Ent näidati, et see ei sobi kokku lainepaketi (mis esindab osakest) elastse hajumisega sihtmärgist eemale; see levib igas suunas.^[6] Kuigi hajutatud osake võib hajuda igas suunas, ei murdu see ega liigu igasse suunda. Aastal 1926 pakkus Born välja tõenäosusliku amplituudi vaate, mis seob kvantmehaanika arvutused otseselt tõenäosuslike eksperimentaalsete vaatlustega. Nüüdseks nähakse seda kui osana Kopenhaageni tõlgendusest kvantmehaanikast. Leidub ka teisigi tõlgendusi kvantmehaanikast.

Schrödingeri võrrandi lahend

Lahendamisel tuleb ette probleem, kus mikroosakese algoleku andmise korral on üheselt määratud suuruseks ka osakese lainefunktsioon, mis määrab ära ta edaspidise käitumise. Seda väljendab Heisenbergi määramatuse printsiip.

Lahendi otsimisel tuleb välja, et iga lahend pole ka füüsikaliselt kõlblik. Lahendi otsimisel tuleb arvestada lainefunktsiooni füüsikalist tähendust ning diferentsiaalvõrrandist endast tulenevaid matemaatilisi tingimusi. Lahend peaks rahuldama kahte järgmist tingimust:

$\psi ({\bar {r}},t)$ on ühene ja lõplik
$\psi ({\bar {r}},t)$ ja tema esimesed ruumilised tuletised on pidevad.

Esimene tingimus tuleneb lainefunktsiooni tõenäosuslikust tõlgendusest, mille kohaselt peab tõenäosustihedus olema igas punktis lõplik ja ühene. Teine tingimus kujutab endast tavalist matemaatilist tingimust teist järku ruumiliste tuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendile. Mõlemad tingimused on osakeste füüsikaliste olekute kindlakstegemisel olulised. Esimesest tingimusest saab aga tuletada ka kolmanda – normeerimistingimuse.^[4]

Vaata ka

Viited

↑ "Kopenhaageni tõlgendus", "Mikro- ja megamaailma füüsika ", opik.ee (vaadatud 17.04.2023)
↑ Peter Atkins, Loretta Jones (2012). Keemia alused. Teekond teadmiste juurde. Neljas väljaanne. New York: W.H. FREEMAN & Co. Lk 965.
↑ Peter Atkins, Loretta Jones (2012). Keemia alused. Teekond teadmiste juurde. Neljas väljaanne. New York: W.H. FREEMAN & Co. Lk 155.
↑ ^4,0 ^4,1 Rein-Karl Loide. Sissejuhatus kvantmehaanikasse.
↑ Steven Weinberg (2013). Lectures in Quantum Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02872-2.
↑ Born, M (1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange.

Välislingid

Kvantmehaanika põhiprintsiibid

[1] "Kopenhaageni tõlgendus", "Mikro- ja megamaailma füüsika ", opik.ee (vaadatud 17.04.2023)

[2] Peter Atkins, Loretta Jones (2012). Keemia alused. Teekond teadmiste juurde. Neljas väljaanne. New York: W.H. FREEMAN & Co. Lk 965.

[3] Peter Atkins, Loretta Jones (2012). Keemia alused. Teekond teadmiste juurde. Neljas väljaanne. New York: W.H. FREEMAN & Co. Lk 155.

[:0-4] 4,0 ^4,1 Rein-Karl Loide. Sissejuhatus kvantmehaanikasse.

[5] Steven Weinberg (2013). Lectures in Quantum Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02872-2.

[6] Born, M (1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]