Pikkus (matemaatika)

See artikkel räägib geomeetria mõistest; pikkuse all võidakse mõista ka jada pikkust või sõne pikkust

Pikkuseks nimetatakse matemaatikas lõigu, tee (joone) või kõverjoone ulatust iseloomustavat arvu.

Lõigu pikkus

Kui $A$ ja $B$ on kaks reaaltasandi ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) punkti koordinaatidega $A(a_{1}|a_{2})$ ja $B(b_{1}|b_{2})$ , siis Pythagorase teoreemi järgi lõigu $AB$ pikkus

{\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}.

Kolmemõõtmelises näitlikus ruumis punktide korral koordinaatidega vastavalt $A(a_{1}|a_{2}|a_{3})$ ja $B(b_{1}|b_{2}|b_{3})$

{\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.

Selliste valemite üldistamiseks on kaks vaateviisi:

Lõigu $AB$ pikkust tõlgendatakse vektori ${\overrightarrow {AB}}$ pikkusena ja defineeritakse vektorite pikkused. Vastavat üldistatud pikkusemõistet vektorruumi vektorite puhul nimetatakse normiks.
Veel üldisema lähenemise puhul vaadetakse lõikude pikkuste asemel otspunktide vahelisi kaugusi. Üldisi kaugusemõisteid nimetatakse meetrikateks.

Tee (joone) pikkus

Tee on pidev kujutus $\gamma :[a,b]\to X$ lõigust topoloogilisse ruumi $X$ . Et teedele saaks omistada pikkuse, peab sel ruumil siiski olema lisastruktuur. (Mõnikord nimetatakse tee pikkuseks lõigu pikkust, siis mõistetakse pikkust teisiti.) Kõige lihtsamal juhul on $X$ tasand $\mathbb {R} ^{2}$ või ruum $\mathbb {R} ^{3}$ tavalise lõikude pikkuse mõistega; üldistused on võimalikud Riemanni ruumide ja suvaliste meetriliste ruumide puhul. Tee $\gamma \,$ pikkust tähistatakse siis $L(\gamma )\,$ .