Lihtne juhuslik valik

Lihtne juhuslik valik on selline valikuprotseduur, kus kõik $n$-mahulised valimid $N$-mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed.

Eristatakse kahte liiki lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul mitte.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuta

Olgu üldkogum $U=\{1,2,\dots ,N\}$.Kõigi $n$ mahuliste valimite arv, mida $U$-st saab moodustada on $M=C_{N}^{n}$. Olgu $S=\{s_{1},\dots ,s_{M}\}$ kõigi võimalike valimite hulk.

Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine:

           $\pi _{i}={\frac {n}{N}}\quad \forall i$

ning teist järku kaasamistõenäosus on

           $\pi _{ij}={\frac {n(n-1)}{N(N-1)}}\quad \forall i\neq j$

Valimi genereerimise võimalused

Definitsiooni järgi

Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga $n$ (selliseid võimalusi on $C_{N}^{n}$) ja siis valida üks valim võrdse tõenäosusega.

Tõmbeviis (elemendid on nummerdatud)

1. $i=1\Rightarrow$ valime tõenäosusega $1/N$ ja eemaldame üldkogumist;
2. $i=2,...,n\Rightarrow$ valime tõenäosusega ${\frac {1}{N-(i-1)}}$ ja eemaldame iga kord üldkogumist.

Loeteluviis (tulemuseks on vektorvalim)

$\forall i=1,...,N$ seame vastavusse juhusliku arvu $u_{i}\sim U(0,1)$.

1. $i=1$: kui $u_{1}<n/N$, siis 1. element on valimis
2. $i=2,...,N$: kui $u_{i}<{\frac {n-n_{i}}{N-i+1}}$, siis $i.$s element on valimis.

Siin $n_{i}$ on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese $i-1$ objekti seast.

Järjestusvalik

1. $\forall i=1,...,N$ seame vastavusse juhuslikud arvud $u_{1},...,u_{N},\quad u_{i}\sim U(0,1)$.
2. Järjestame üldkogumi objektid ümber $u_{i}$ järgi kasvavalt: $u_{(i_{1})}<u_{(i_{2})}<...<u_{(i_{N})}.$
3. Võtame valimisse esimest $n$ objekti.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma $t=\sum _{U}y_{i}$ nihketa hinnang kujul

           ${\hat {t}}=N{\overline {y}},$ 

kus ${\overline {y}}=\sum _{s}y_{i}$ on valimi keskmine.

Kogusumma hinnangu dispersioon on

           $D({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{yU}^{2}/n$

ja dispersiooni hinnang on

           ${\hat {D}}({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{ys}^{2}/n,$

kusjuures $f={\frac {n}{N}}$ on valikusuhe,

           $S_{yU}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $S_{ys}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.

Keskmise hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine ${\overline {Y}}={\frac {Y}{N}}$ nihketa hinnang kujul

           ${\hat {\overline {Y}}}={\frac {1}{n}}\sum _{s}y_{i}={\overline {y}}.$

Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised:

           $D{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{yU}^{2}/n,$
           ${\hat {D}}{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{ys}^{2}/n$.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuga

Tagasipanekuga disainide korral objektid võivad sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator $I_{i}$ juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast $\{0,1,2,..\}$.

Valimi genereerimise võimalused

Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain. [konspekt]

Multinominaaldisain

1. Valikutõenäosused $p_{i}$ on fikseeritud iga $i$ jaoks, $i\in U$ kogu valikuprotsessis,$\sum _{i=1}^{N}p_{i}=1$.
2. Objekt valitakse vastavalt $p_{i}$-le, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse.
3. Protsessi korratakse $n$ korda (kuni valim on käes).

Hüpergeometriline disain

Iga element saab olla valitud kuni $m_{i}$ korda.

Olgu $m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}$.

Tähistame $I\sim HG(n;m_{1},m_{2},...,m_{N})$, kus jaotuse tõenäosusfunktsioon on järgmine: $p(k)=P(I=k)={\frac {\prod _{i=1}^{N}C_{m_{i}}^{k_{i}}}{C_{m}^{n}}}$ , kui $|k|=n$.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale $t=\sum _{U}y_{i}$ avaldub järgmiselt:

           ${\hat {t}}=N{\overline {y}}.$

Hinnangu ${\hat {t}}$ dispersioon on järgmine:

           $V({\hat {t}})=(N(N-1))/nS_{y}^{2}$,

ja dispersiooni hinnang:

           ${\hat {V}}({\hat {t}})=N^{2}/(n(n-1))s_{y}^{2}$,

kus

           ${\overline {y}}=1/n\sum _{s}y_{i}$

on valimi keskmine,

           ${\overline {Y}}=1/N\sum _{U}y_{i}$

on üldkogumi keskmine,

           $S_{y}^{2}=1/(N-1)\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $s_{y}^{2}=1/(n-1)\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.