Snelli seadus

Snelli seadus (tuntud ka kui Snelli-Descartesi seadus, Snelliuse seadus või murdumisseadus) kirjeldab matemaatiliselt langemisnurga ja murdumisnurga vahelist seost, kui valguslaine (või mõni muu laine) läbib kahe isotroopse keskkonna piirpinda.

Valguse murdumine erinevate murdumisnäitajatega keskkondade piirpinnal, kus $n_{2}$ > $n_{1}$. Kuna valguse kiirus on parempoolses keskkonnas aeglasem, siis on murdumisnurk $\theta _{2}$ väiksem kui langemisnurk $\theta _{1}$

Optikas kasutatakse Snelli seadust valguskiirte teekonna uurimisel, et arvutada langemisnurka või murdumisnurka. Samuti kasutatakse seda materjalide murdumisnäitaja leidmiseks. Seadus kehtib ka metamaterjalides, mille puhul valguse murdumisnurk on negatiivne ja mille murdumisnäitaja on samuti negatiivne.

Snelli seadus ütleb, et murdumisnurga ja langemisnurga siinuste suhe on võrdne valguse faasikiiruste suhtega neis kahes keskkonnas. Seega on see suhe võrdne ka keskkondade murdumisnäitajate suhtega:

${\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}$

kus $\theta _{1}$ on langeva kiire ja pinnanormaali vaheline nurk, $\theta _{2}$ on murduva kiire ja pinnanormaali vaheline nurk, $v_{1}$ on valguse kiirus esimeses keskkonnas, $v_{2}$ on valguse kiirus teises keskkonnas, $n_{1}$ on esimese keskkonna murdumisnäitaja ning $n_{2}$ on teise keskkonna murdumisnäitaja.

Kui valgus langeb kahe keskkonna piirpinnale normaali sihis, on langemisnurk $\theta _{1}$=0° ning sel juhul on ka murdumisnurk $\theta _{2}$ = 0°. Sel juhul murdumist ei toimu ning kiire levimissuund jääb samaks.

Seadus järgib Fermat' printsiipi, ehk et valgus levib punktist A punkti B mööda teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne.

Ajalugu

Ptolemaios uuris murdumisnurkade suhet, kuid see oli ebatäpne nurkade puhul, mis ei olnud väga väikesed. Ta oli kindel, et oli leidnud täpse empiirilise seaduse, osaliselt sellepärast, et ta muutis oma andmeid nii et need sobituksid tema matemaatilise seadusega.

1021. aastal jõudis Araabia matemaatik, astronoom ja füüsik Ibn al-Haytham (ladinapäraselt Alhazen) oma raamatus "Optika raamat" lähemale murdumisseaduse avastamisele, kuid ta ei jõudnud lõpliku murdumisseaduseni.

Esimest korda kirjeldas murdumisseadust põhjalikult Pärsia teadlane Ibn Sahl 984. aastal. Sahl kasutas murdumisseadust oma käsikirjas "Põlemispeeglite ja läätsede kohta", kus ta kasutas seadust, et tuletada läätsekujusid, mis fokuseeriks valgust ilma geomeetriliste aberratsioonideta.

1602. aastal taasavastas murdumisseaduse Thomas Harriot. Harriot pidas sel teemal isegi Kepleriga kirjavahetust, kuid ei publitseerinud oma töö tulemusi. 1621. aastal tuletas Hollandi astronoom ja matemaatik Willebrord Snellius matemaatiliselt ekvivalentse vormi, mis jäi tema eluajal publitseerimata. René Descartes tuletas murdumisseaduse iseseisvalt oma 1637. aasta essees "Valguse murdumisest" ning kasutas seadust, et lahendada tervet hulka optikaprobleeme. Pierre de Fermat jõudis samale tulemusele, tuginedes vaid oma vähima aja printsiibile.

Selgitus

Snelli seadus kirjeldab valguse levimist ja kiire suuna muutumist üleminekul ühest keskkonnast teise. Keskkondade murdumisnäitajaid ($n_{1},n_{2}$ jne) kasutatakse, et näidata, kui mitu korda valguse levimiskiirus väheneb, kui ta levib läbi vastava keskkonna, nagu klaas või vesi, võrreldes valguse kiirusega vaakumis.

Kui valgus läbib kahe erineva murdumisnäitajaga keskkonna piirpinna, siis kiire levimise suund muutub ehk valgus murdub. Sõltuvalt keskkondade suhtelistest murdumisnäitajatest valgus kas murdub suurema või väiksema nurga all piirpinna normaali suhtes. Kui valgus levib õhust ($n=1$) vette ($n=1.33$), siis ta murdub normaali suunas, sest valgus levib vees aeglasemini. Kui valgus levib veest õhku, siis ta murdub normaalist eemale. (Täpsustus, et valguse murdumisnäitaja ei ole päris 1 nagu vaakumis, vaid pisut suurem - 1.000293 (0 kraadise temperatuuri ja 1 atm rõhu juures) aga selle võib lihtsuse mõttes lugeda umbes võrdseks ühega).

Snelli seadus on üldiselt tõene vaid isotroopiliste või peegeldavate keskkondade korral (nagu klaas). Anisotroopsetes keskkondades (nagu mõned kristallid), võib toimuda kaksikmurdumine. Sel juhul murdub kiir tavaliseks kiireks, mille jaoks Snelli seadus kehtib, ning ebatavaliseks kiireks, mille puhul ta ei pruugi kehtida.

Kui vaadeldav valgus on monokromaatne ehk ühe kindla sagedusega, saab Snelli seadust väljendada ka valguse lainepikkuste suhte järgi vaadeldavates keskkondades:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}$

Tuletuskäik ja valem

Lainefrondid punktallikast Snelli seaduse kontekstis. Hallist joonest allpool asuvas piirkonnas on keskkonna murdumisnäitaja suurem ning valguse kiirus on selles keskkonnas väiksem

Snelli seaduse saab tuletada Fermat' printsiibist, mis ütleb, et valgus levib mööda teed, mille läbimiseks kuluv aeg on minimaalne. Kui võtta optilisest teepikkusest tuletis, leidub kriitiline punkt, mille abil saab leida valguse teekonna.

Valgus levib keskkonnast 1 punktist Q keskkonda 2. Piirpinnal toimub murdumine ning valgus jõuab punkti P

Alumisel pildil on vasakpoolse keskkonna murdumisnäitaja $n_{1}$ ja parempoolse keskkonna murdumisnäitaja $n_{2}$. Valgus siseneb parempoolsesse keskkonda punktis O. $\theta _{1}$ on langemisnurk, $\theta _{2}$ on murdumisnurk.

Valguse kiirused vasakpoolses ja parempoolses keskkonnas on vastavalt

$v_{1}=c/n_{1}$ ja $v_{2}=c/n_{2}$

, kus $c$ on valguse kiirus vaakumis.

Olgu $T$ aeg, mis valgusel kulub punktist Q punkti P liikumiseks.

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$ (Kriitiline punkt)

Teame, et:

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

${\frac {l-x}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}$

Seega:

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

${\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}$

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

Täielik sisepeegeldus

 Pikemalt artiklis Täielik sisepeegeldus

Kui valgus levib suurema murdumisnäitajaga keskkonnast väiksema murdumisnäitajaga keskkonda, siis Snelli seaduse kohaselt peaks mõnel juhul (kui langeva kiire nurk on piisavalt suur) olema murdumisnurga siinus suurem kui üks. Seda muidugi ei juhtu ning sellisel juhul toimub täielik sisepeegeldus ehk valgus ei murdu väiksema murdumisnäitajaga keskkonda. Suurimat võimalikku nurka, mille puhul valgus veel siseneb väiksema murdumisnäitajaga keskkonda, nimetatakse kriitiliseks nurgaks. Kriitilise nurga all langev valguskiir murdub ning levib edasi mööda kahe keskkonna piirpinda. Täielikul sisepeegeldumisel ei esine energiakadusid. Täieliku sisepeegeldumise põhimõtet rakendatakse valguskaablites.

Dispersioon

 Pikemalt artiklis Dispersioon (optika)

Lainete levimise kiirus sõltub laine sagedusest või vastavalt lainepikkusest, välja arvatud vaakumis. Neid keskkondi nimetatakse hajutavateks ehk dispersseteks keskkondadeks. Dispersiooni tulemusena sõltuvad Snelli seaduses leitud nurgad ka sagedusest/lainepikkusest ning valguskiir, mis koosneb mitme lainepikkusega valgusest, hajub. Selline valguse hajumine klaasis või vees on põhjus, miks me näeme vikerkaart ja teisi optilisi nähtusi, kus valguse hajumisel tekivad erinevad värvid.