Brahmagupta

Brahmagupta (jaio c. 598, hil c. 668), indiar matematikari eta astronomoa izan zen. Astronomiari buruzko Brāhmasphuṭasiddhānta izeneko lanean, matematika eta aljebrari buruzko hainbat atal idatzi zuen. Zenbaki negatiboak erabili zituen lehena izan zen, eta oinarrizko lau eragiketa matematikoak enuntziatu zituen.

Brahmagupta
Bizitza
Jaiotzako izen-deiturak	ब्रह्मगुप्तः
Jaiotza	Bhinmal (en) eta Ujjain, c. 598
Bizilekua	Bhinmal (en) Ujjain
Heriotza	Ujjain eta Bhinmal (en) , c. 668 (71/72 urte)
Familia
Aita	Jishnugupta
Jarduerak
Jarduerak	matematikaria eta astronomoa
Lan nabarmenak	ikusi Brahmagupta theorem (en) Brahmagupta matrix (en) Brahmagupta's formula (en) Brahmagupta–Fibonacci identity (en) Brahmagupta's interpolation formula (en) Brahmagupta polynomial (en) Brahmagupta's identity (en) Khandakhadyaka (en) Brāhmasphuṭasiddhānta (en) Brahmagupta's problem (en)

Bizitza

Brahmagupta, berak adierazi zuenez, K.o. 598. urtean jaio zen. Brahmagupta Indiako ipar-sartaldeko Bhinmalen bizi izan zen Harsharen jaurgoan. Horregatik, askotan, «Bhillamalacarya» (euskaraz: «Bhillamalako irakaslea») deitzen zaio. Gero Malwako Ujjaingo behatoki astronomikoko burua izan zen. Bertan, 628an, matematikari eta astronomiari buruzko liburua idatzi zuen, Brāhmasphuṭasiddhānta («Egokiro Sortutako Brahmaren Jakinbidea»), eta Khandakhadyaka («jateko hozka» edo «janari-mordoa») lan praktikoa 665ean. Bi liburu horien artean, Brāhmasphuṭasiddhānta da, zalantzarik gabe, garrantzitsuena.

Garai horretako matematikari handientzat hartzen da. Baliteke Brahmagupta izatea «zeroaren» kontzeptuaren asmatzailea, bada, 628. urteko Brahma-sphuta-siddhanta obran agertzen baita ideia hori lehen aldiz. Obrak aritmetika eta zenbaki negatiboak ere lantzen zituen, matematika modernoaren antzeko terminoetan.

Brahmagupta izan zen lehena zeroarekin eragiketa matematikoen arauak ezartzen. Brahmaguptak idatzitako testuak poesia eliptiko estiloan idatziak zeuden, sanskritoz, garai hartako matematikari indiarren artean ohikoa zena.

Bizitza eta ekarpenak

Brahmagupta K.o. 598. urtean jaio zen, bere aitorpenaren arabera. Bhillamalan (gaur egun Bhinmal) bizi izan zen Vyagrahamukha dinastia agintariaren erregealdian. Jishnuguptaren semea zen, eta shivaismoaren praktikante erlijiosoa izan zen.​ Aditu gehienek Brahmagupta Bhillamalan jaio zela ziurtzat jotzen badute ere, ez dago horren ebidentzia sendorik. Hala ere, bertan bizi eta lan egin zuen bere bizitzaren zati handi batean. Prithudaka Svamin, geroagoko matematikari batek, Bhillamalacharya deitu zion, Bhillamalako maisua. G. S. Ghurye soziologoak uste zuen Multan edo Abu eskualdekoa izan zitekeela.

Bhillamala hiria (Xuanzangek Pilomolo deitua), itxuraz, Gurjaradesako hiriburua izan zen, mendebaldeko Indiako bigarren erresumarik handiena, hegoaldetik Rajastan eta iparraldetik India modernoko Gujarat hartzen zituena. Matematika eta astronomia ikasteko zentroa ere izan zen. Brahmagupta brahma paksha eskolako astronomo bihurtu zen, indiar astronomiaren lau eskola nagusietako bat garai horretan. Indiako astronomiari buruzko bost siddhantha tradizionalak aztertu zituen, baita beste astronomo batzuen lana ere, Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varaja Mijira, Simha, Srisena, Vijayandin eta Vishnuchandra-rena barne.

628. urtean, 30 urte zituela, Brahma-sphuta-siddhanta konposatu zuen, brahmapaksha eskolatik jasotako siddhantaren bertsio berrikusia dela uste dena.

Adituek diotenez, originaltasun handia erantsi zion bere berrikuspenari, material berri ugari gehituz.

Liburuak 24 kapitulu ditu eta 1008 bertso, metrika ariaz idatziak. Idatzi horren zati handi bat astronomia da, baina matematikari buruzko funtsezko kapituluak ere baditu, hala nola aljebra, geometria, trigonometria eta algoritmia. Brahmaguptaren ekarpenari esker, ideia berriak dituztela uste da.

Geroago, Brahmagupta Ujjain herrira aldatu zen, garai hartan astronomiaren gune garrantzitsua. 67 urterekin, Khanda-khādyaka izeneko bere hurrengo lana konposatu zuen, karana kategoriako indiar astronomiari buruzko eskuliburu praktikoa, ikasleei zuzendua.

Brahmagupta K.o. 665. urtetik aurrera ere bizirik zegoen. Ujjainen hil zela uste da.

Eztabaida

Brahmaguptak kritika ugari egin zizkion astronomo aurkarien lanari, eta haren Brahma-sphuta-siddhantak Indiako matematikarien arteko lehen zismetako/ezberdintasunetako bat erakusten du. Ezberdintasuna, batez ere zentratu zen matematika mundu fisikoan aplikatzean, eta ez matematikan beran. Brahmaguptaren kasuan, desadostasunak, neurri handi batean, parametro eta teoria astronomikoen aukeraketatik eratorri ziren.​ Aurkarien teorien kritikak lehen hamar kapitulu astronomikoetan agertzen dira, eta hamaikagarren kapitulua, hala, teoria horien kritikari eskainita dago erabat, nahiz eta hamabigarren eta hemezortzigarren kapituluetan kritikak agertzen ez diren.

Harrera

George Sartonek, zientziaren historialariak, «bere motako zientzialari handienetako bat eta bere garaiko handiena» izendatu zuen.

Brahmaguptaren aurrerapen matematikoak, geroago, Bhaskara II.ak aztertu eta berrekin zituen, ondorengo zuzen batek Ujjainen; hark «ganaka-chakra-chudamani» (matematikarien harribitxia) gisa deskribatu zuen Brahmagupta.

Era berean, Prithudakak Brahmaguptaren bi lan ezagunen inguruko iruzkinak idatzi zituen, baieztapen eta sententzia konplexuak hizkuntza sinpleagoan aurkeztuz eta ilustrazioak gehituz. Lalla-k eta Bhattotpala-k Khanda-Khadaki buruzko iruzkinak idatzi zituzten VIII. eta IX. mendeetan.​ Geroago, iruzkinak XII. mendean hasi ziren agertzen.

Brahmagupta hil eta hamarkada batzuetara, Sindh arabiar kalifa-herriaren mende geratu zen K.o. 712an. Gurjaradesara espedizioak bidali zituzten. Badirudi Bhillamalako Erreinua suntsituta gelditu zela, baina Ujjainek atzera bota zituen erasoak. Al-Mansur kalifaren gorteak (754-775) Sindh-eko enbaxada bat jaso zuen, Kanaka izeneko astrologo bat barne, eta hark testu astronomikoak ekarri zituen (agian buruz ikasiak), baita Brahmaguptarenak ere.

Brahmaguptaren testuak arabierara itzuli zituen, Sindhind eta Arakhand izenekin, Muhammad al-Fazari-k, Almanzor gortean zegoen astronomoa. Berehalako emaitza izan zen testuetan erabilitako zenbaki-sistema hamartarra hedatzea.

Al-Khwarizmi matematikariak (K.o. 800-850) Al-jam wal-tafru bi hisal-al-hind (Batuketa eta kenketa Indiako aritmetikan) izeneko testu bat idatzi zuen, XIII. mendean, latinera itzuli zena Algorithmi de número indorum izenez. Testu horien bidez, mundu osora zabaldu dira zenbaki-sistema hamartarra eta Brahmaguptaren algoritmoak aritmetikarako. Al-Khwarizmik Sindhindren bertsio propioa ere idatzi zuen, Al-Fazariren bertsioan oinarrituta eta elementu ptolemaikoak gehituta. Indiako material astronomikoa asko hedatu zen mendeetan zehar, baita Erdi Aroko latinezko testuetan ere. ​​

Matematikak

Algebra

Brahmaguptak ekuazio lineal baten emaitza orokorra aurkitu zuen. Brahma-sphuta-siddhantako hemezortzigarren kapituluan deskribatzen da aurkikuntza hori:

«

«Rupen» arteko aldea, alderantzikatzen denean eta ezezagunen arteko diferentziaz zatitzen denean, ekuazioren ezezaguna da. «Rupenak» kentzen dira karratua eta ezezaguna kendu behar diren azpiko aldean.

»

Aurreko hori, irtenbide bat da bx + c = dx + e ekuazioaretzat, x = e − cb − d ekuazioaren baliokide dena, non «rupas» hitzak c eta e konstanteei egiten dien erreferentzia.

Brahmaguptak bi irtenbide-balio aurkitu zituen ekuazio koadratikorako:

«

18.44. «Rupen» erro karratua murriztu batez besteko zenbakitik, karratua lau aldiz biderkatuta eta batez besteko zenbakiaren karratuz handituta; Zatitu gainerakoa karratuaren bikoitzaz. Emaitza batez besteko zenbakia da. 18.45. Edozein dela ere «rupen» erro karratua e karratuaz biderkatua eta ezezagunaren erdiaren karratuz gehitua, ken hori ezezagunaren erdiaz eta zati ezazu gainerakoa bere karratuz. Emaitza ezezaguna da.

»

zeinak diren, hurrenez hurren ax2 + bx = c ekuazioaren irtenbideak eta hauen baliokide:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

eta

$x={\frac {{\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}.$

Aldibereko ekuazio zehaztugabeen sistemak ebazten jarraitu zuen, eta adierazi zuen aldagai desiratua lehen isolatu egin behar dela, eta, gero, ekuazioa aldagai desiratuaren koefizienteagatik zatitu behar dela. Zehazki, ezezagun asko dituzten ekuazioak ebazteko «lainoztagailua» erabiltzea gomendatu zuen.

«

18.51. Egin kolore desberdinen kenketa lehenengo koloretik. Gainerakoa lehenengo kolorearen koefizientetik zatituta, lehenaren neurria da. Bi bider bi terminoak hartzen dira kontuan antzeko zatitzaileetara murrizten direnean, eta horrela behin eta berriz. Kolore asko badaude, lainoztagailua erabiliko da.

»

Diofanto Alexandriakoaren aljebraren antzera, Brahmaguptaren algebra sinkopatua izan zen. Batuketa adierazteko, zenbakiak elkarren ondoan jarriz adierazi zen; kenketa, berrakuramenduaren gainean puntu bat jarriz; eta zatiketa, zatitzailea zatikizunaren azpian jarriz, gure notazioaren antzekoa, baina barrarik gabe. Biderketa, eboluzioa eta kopuru ezezagunak termino egokien laburduren bidez adierazi ziren. Aljebraren historian greziar eraginaren norainokoa den, baldin badago, ez da ezagutzen, eta litekeena da sinkopazio greziarra zein indiarra iturri babiloniarreko komun batetik eratorria izatea.

Aritmetika

Oinarrizko lau eragiketak (batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa) kultura askok ezagutzen zituzten Brahmaguptaren aurretik. Eragiketa sistema hori (gaur egungoa ere badena) Indiako zenbakizko sistema arabiarrean oinarritzen da, eta, lehen aldiz, Brahma-sphuta-siddhantan agertu zen.

Brahmaguptak honela deskribatzen du biderketa:

«

Biderkakizuna abereentzako soka bat bezala errepikatzen da, biderkatzailean zati batzuk daudenean eta behin eta berriz biderkatzen direnean eta produktuak batu egiten direnean. Biderketa da edo biderkakizuna biderkatzailean dauden osagaiak hainbeste aldiz errepikatzen denean.

»

Indiako aritmetika modus indoram (indioen metodoa) izenez ezagutzen zen Europan, Erdi Aroan.

Brahma-sphuta-siddhantan, biderketari «gomutrika» deritzoten. Brahma-sphuta-siddhanta obraren hamabigarren kapituluaren hasieran —Kalkulua deitua—, Brahmaguptak eragiketak xehatzen ditu zatikietan. Irakurleak erro karratua lortzeko oinarrizko eragiketa aritmetikoak ezagutzea espero da, nahiz eta oso baten kuboa eta erro kubikoa nola aurkitu azaltzen duen eta, gero, laukiak eta erro karratuak errazago kalkulatzeko erregelak ematen dituen. Geroago, zatikien bost konbinazio mota tratatzeko arauak ematen ditu:

a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; eta a/c − b/d × a/c = a(d − b)/cd.

Serieak

Brahmaguptak jarraitzen du n zenbaki osoaren karratuen eta kuboen batura ematen:

«

12.20. Karratuen batura da: (batura) hori (s) urratsen kopurutik bi aldiz biderkatuz eta gehi bat eta zati hiru gehituz. Kuboen batura da batuketa horren karratua. Horien pilak bola berdinekin ere kalkula daitezke.

»

Honetan, Brahmaguptak, hala, lehen n osoaren «batuketa» terminoetan aurkitu zuen emaitza, eta ez n terminoetan, gaur egun gertatzen den antzera.

Zenbaki arrunten lehenengo n zenbakiaren karratuen batura n(n + 1)(2n + 1)/6 gisa ematen du, eta lehenengo n zenbaki arrunten kuboen batura (n(n + 1)/2)2
gisa.

Zero

Brahmaguptaren Brahma-sphuta-siddhanta lana bere espezieko lehen liburua da, zero zenbakiarekin eta zenbaki negatiboekin eragiketa aritmetikoak egiteko arauak dituena.

Brahma-sphuta-siddhanta da lehen testu ezaguna zero zenbakia gaur egun ezagutzen ditugun propietateekin tratatzen duena eta ez beste zenbaki bat irudikatzen duen posizio-markatzaile soil baten gisa, hau da, babiloniarrek egin zuten moduan, edo kopuru nulua irudikatzen duen sinbolo gisa (Ptolomeok eta erromatarrek egin zutena). Brahma-sphuta-siddhantako hemezortzigarren kapituluan, Brahmaguptak zenbaki negatiboekin egindako eragiketak deskribatzen ditu:

«

18.30. Bi zenbaki positiboren batura, positiboa da; bi zenbaki negatiboren batura, negatiboa da; zenbaki positibo baten eta zenbaki negatibo baten batura, zenbaki horien kenketa/diferentzia da. Zero baten eta beste zero baten arteko batura, zero da; zenbaki negatibo baten eta zero zenbakiaren arteko batura, zenbaki negatibo bat da, eta zenbaki positibo baten eta zero zenbakiaren arteko batura, positiboa da 18.32. Negatiboa ken zero negatiboa da; positiboa ken zero positiboa da; zero ken zero zero da. Positibo bat negatibo bati kendu behar zaionean edo negatibo bat positibo batetik kendu behar denean, orduan, zenbaki horiek batu egin behar dira.

»

Brahmaguptak, orain, bi zenbakiren arteko biderketa deskribatzen jarraitzen du:

«

18.33. Zenbaki negatibo baten eta zenbaki positibo baten arteko biderkadura negatiboa da; bi zenbaki negatiboen arteko biderkadura positiboa da; zenbaki positiboen biderkadura positiboa da. Era berean, zenbaki negatibo bat eta zeroren arteko biderkadura zero da; zenbaki positibo bat eta zeroren arteko biderkadura zero da; bi zeroren arteko biderkadura zero da.

»

Baina zeroz zatitzeari buruz egiten duen deskribapena eta gure ulermen modernoarena desberdinak dira:

«

18.34 Positibo bat zati positibo bat edo negatibo bat zati negatibo bat positiboa da; zero zati zero, zero da; positibo bat zati negatibo bat negatiboa da; negatibo bat zati positibo bat (ere) negatiboa da. 18.35 Zeroz zatitutako negatibo edo positibo batek (zero) hori du zatitzaile gisa, edo negatibo edo positibo batez zatitutako zeroak (negatibo edo positibo hori du zatitzaile gisa). Negatibo baten edo positibo baten karratua positiboa da; zero baten (karratua) zero da. Karratuaren karratua den hori, haren erro karratua da.

»

Hemen, Brahmaguptak baieztatzen du 0/0 = 0 dela, eta, a/0-ren gaiari dagokionez, non a ≠ 0 den, ez zen oso argi geratu(Boyer 1991, 220 orr. ). Zenbaki negatiboei eta zero zenbakiari dagokienez, dituen arau aritmetikoak ulermen modernotik nahiko hurbil daude, salbu eta gaur egungo matematiketan zeroz zatitzea mugagabe uzten den.

Brahmaguptaren formula

Brahmaguptaren teoremaren diagrama.

Bere lanean, hirukote pitagorikoa eratzeko araua dago:

$m,{\frac {m^{2}}{2(m-n)}},{\frac {m^{2}}{2(m+n)}}$

hori Babiloniako antzinako arauaren aldaketa izan arren, berak ezin hobeto ezagutu ahal izan zuena. Laukientzako eremuaren Brahmaguptaren formula, formulekin batera erabili zuen:

${\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{(ad+bc)}}}$ y ${\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}}$

diagonaletarako, zenbaki arruntak diren alde, diagonal eta eremuak dauzkaten laukiak aurkitzeko.

Ekuazio zehaztugabeen teoria

Brahmaguptak, jakina, matematika berez atsegin zuen, ezen praktikatik kanpoko gauzak ezartzen baitzituen, hala nola haren laukiei buruzko emaitzak. Antza denez, bera ekuazio diofantiko linealari irtenbide orokorra ematen lehena izan zen:

$ax+by=c$ con $a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Ekuazio horrek emaitzak eduki ditzan, $c$ $a$ eta $b$-ren zatitzaile komun handienaz zatitu behar da, eta Brahmaguptak bazekien, $a$ eta $b$ elkarrekiko zenbaki lehenak baldin badira, orduan, ekuazioaren emaitza guztiak honako formula hauek ematen dituztela:

$x=p+mb$, $y=q-ma$

Bertan $m$ zenbaki oso arbitrarioa da.

non $m$ zenbaki oso arbitrarioa den.

Diofantoren ekuazioaren analisia

Pitagorasen hirukoa

Bere Brahma-sphuta-siddhantaren hamabigarren kapituluan, Brahmaguptak Pitagorasen hrukoak sortzeko formula baliagarri bat ematen du:

«

12.39. Mendi baten altuera, biderkatzaile jakin batez biderkatua, hiri batekiko distantzia da; Ez da ezabatzen. Biderkatzailea bider bi gehituta zatitzen denean, bidaia bera egiten duten bietako baten jauzia da.

»

Bestela esanda, d = mx/x + 2 bidaiari batek d distantzia bat «jauzi» egiten badu gorantz, bertikalki, m altueradun mendi baten gailurretik eta, gero, horizontalean, mendiaren oinarritik, zuzenean, mx distantziara dagoen hiri batera bidaiatzen badu ibiliko du menditik bertikalki jaisten den eta gero horizontalean hirira bidaiatzen duen bidaiari baten distantzia bera. Geometrikoki esanda, horrek zera dio: triangelu angeluzuzen batek a = mx luze-oinarria duela eta b = m + d luze-altitudea baldin baditu, orduan, bere hipotenusaren c = m(1 + x) − d-k emango du. Izan ere, oinarrizko manipulazio aljebraikoak erakusten du a² + b² = c² dela, betiere d-k adierazitako balioa badu. Gainera, m eta x arrazionalak badira, d, a, b eta c ere bai. Beraz, Pitagorasen a, b eta c-ren hirukoak lor daitezke bakoitza izendatzaileen multiplo komun txikienaz biderkatuz.

Astronomia

Brahma-sphuta-siddhantaren bidez ikasi zuten arabiarrek Indiako astronomia.

Edward Saxhonek adierazi zuenez, Brahmagupta izan zen arabiarrei astronomia irakatsi ziena.

Bagdad hiria, Almanzor kalifa abbastar ospetsuak (712-775) sortu zuen, Tigris ibaiaren ertzean, eta ikasketa gune bihurtu zuen. Kalifak Kankah izena zuen Ujjaingo aditua gonbidatu zuen 770. urtean. Kankahk Brahma-sphuta-siddhanta erabili zuen Indiako astronomia sistema aritmetikoa azaltzeko.

Kalifak eskatuta, Muhammad al-Fazarik arabierara itzuli zuen Brahmaguptaren lana.

Brahma sphuta siddhantaren zazpigarren kapituluan, Ilgora erdia izendatua, Brahmaguptak Ilargia, Lurretik, Eguzkia baino urrunago dagoen ideia ezeztatzen du, ideia hori idazketetan mantentzen delarik. Eguzkiak nola ilargia argiztatzen duen azalduz egiten du hori.

«

7.1. Ilargia eguzkiaren gainetik balego, nola zitekeen hazteko eta txikitzeko ahalmena eta abar ilargiaren luzeraren kalkulutik sortu? ia erdia distiratsua izango litzateke (beti). 7.2. Argitan, eguzkiak ikusten duen zutik dagoen eltze baten erdia distiratsua eta ikusten ez den erdia iluna den era berean, ilargiaren argiztapena eguzkiaren azpian delako da. 7.3. Distira handitu egiten da eguzkiaren norabidean. Distiraren amaieran (hau da, hazterakoan), hilabete erdira, hurbilago dagoen erdia distiratsua da, eta urrunago dagoen erdia iluna. Beraz, Ilgora erdiaren adarren igoeratik atera daiteke kalkulua.[...]

»

Azaltzen du: Ilargia hurbilago dagoenez Lurretik Eguzkitik baino, Ilargiaren alde argiztatuaren gradua, hala, Eguzkiaren eta Ilargiaren posizio erlatiboen araberakoa da, eta hori bi gorputzen arteko angeluaren neurritik zenbatu daiteke

Hona hemen Brahmaguptak astronomian egin zituen ekarpen garrantzitsuenetako batzuk: gorputz zerutiarren posizioa denborarekin kalkulatzeko metodoak (efemerideak), irteerak eta postak, lerrokatzeak eta eguzki- eta ilargi-eklipseen kalkulua.

Lurra laua zelako ikuspuntu puranikoa kritikatu zuen Brahmaguptak. Horren ordez, Lurra eta zerua esferikoak zirela behatu zuen, eta Lurra mugimenduan dagoela. 1030ean, Abu al-Rayhān al-Bīrānān astronomo musulmanak, bere Tu'rikh al-Hind obran, geroago latinera Indika izenez itzulia, Brahmaguptaren lana komentatu zuen, eta kritikoek argudiatu zutela idatzi zuen:

«	Lurra esferikoa balitz, harriak eta zuhaitzak erori egingo lirateke.	»
Abu al-Rayhān al-Bīrānān

.

Al-Biruniren arabera, Brahmaguptak grabitazioan oinarritutako argudio honekin erantzun zien kritika horiei:

«	Aitzitik, hori gertatuko balitz, Lurrak ez luke lortuko erritmo konstante eta uniformeari eustea zeruetako arauen barruan. [...] Gauza astun guztiek Lurraren erdigunera erakarriak dira. [...] Lurra, alde guztietan, bera da, Lurrean jendea, denok gaude zutik, eta gauza astun guztiak Lurrean erortzen dira naturaren lege baten ondorioz, zeren Lurraren izaera baita gauzak erakartzea eta mantentzea, uraren izaera jariatzea, suarena erretzea eta haizearena mugitzea diren moduan... Lurra da erakartzen duen bakarra, eta, orduan, gauzak beti itzultzen dira horretara, edozein dela botatzen diren norabidea, eta ezin dira inoiz Lurretik igo.	»
Brahmagupta

Bibliografia

• Seturo Ikeyama. Brāhmasphuṭasiddhānta of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhaka, critically edited with English translation and notes. INSA.
• David Pingree. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS). American Philosophical Society.
• Brahmagupta. Brahmagupta.
• (Ingelesez) Bhanu Murthy, T.S. Bhanu. (1993). A modern introduction to ancient Indian mathematics. (2. reprint.. argitaraldia) New Delhi [u.a.]: Wiley Eastern ISBN 81-224-0371-9..
• Boyer, Carl B.. (1991). A History of Mathematics. (2. edizioa. argitaraldia) John Wiley & Sons, Inc ISBN 0-471-54397-7..
• Cooke, Roger. (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience ISBN 0-471-18082-3..
• Joseph, George G.. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton, NJ: Princeton University Press ISBN 0-691-00659-8..
• (Ingelesez) Katz, Victor J.. (1993). A history of mathematics: an introduction. ([Nachdr.]. argitaraldia) Nueva York: HarperCollins ISBN 0673-38039-4..
• Plofker, Kim. (2007). «Mathematics in India» The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press ISBN 978-0-691-11485-9..
• (Ingelesez) Sharma, Shashi S.. (2007). Mathematics & Astronomers of Ancient India. Pitambar Publishing ISBN 812091421X..
• Stillwell, John. (2004). Mathematics and its History. (2. edizioa. argitaraldia) Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1..
• (Ingelesez) Prakash, Satya. (1968). A critical study of Brahmagupta and his works: a most distinguished Indian astronomer and mathematician of the sixth century A.D.. Indian Institute of Astronomical & Sanskrit Research, pp.344 or..
• (Ingelesez) Puttaswamy, T.K. (2012). Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians. Newnes ISBN 9780123979384..
• (Ingelesez) Selin, Helaine (ed.). (1997). Encyclopaedia of the history of science, technology and medicine in non-western cultures. Dordrecht: Kluwer Academic argitaletxeas ISBN 0-7923-4066-3..
• Teresi, Dick. (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science. Simon and Schuster, 135 or. ISBN 0-7432-4379-X..

Ingelesera itzulitako obrak:

• (Ingelesez) Chatterjee, Bina (ed.). (1970). The Khandakhadyaka of Brahmagupta. Nueva Delhi ISBN 0-7923-4066-3..
• Prakash, Satya eta Sharma, Ram Swarup (eds.). Brāhmasphuṭasiddhāntaḥ . Iṇḍiyana Insṭīṭyūta Āpha Aisṭrānaumikala Eṇḍa Saṃskṛta Risarca, 1966. (sanskritoz) eta (Ingelesez)

Kanpo estekak

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Brahmagupta

• .
• (Ingelesez) Encyclopedia.com, ed. Brahmagupta; Complete Dictionary of Scientific Biography 1 any = 2008. .
• (Ingelesez) Teorema de Brahmagupta (I). .
• (Ingelesez) Teorema de Brahmagupta. .
• (Ingelesez) Fórmula de Brahmagupta. .
• "Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta" Ram Swarup Sharmak editatua, Indian Institute of Astronomical y Sanskrit Research, 1966. itzaurrea ingelesez, sanskritozko testua eta hindierazko iruzkinak (PDF).

• Datuak: Q202943
• Multimedia: Brahmagupta / Q202943