Kono

Artikulu hau gorputz geometrikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Kono (argipena)».

Kono bat hiruki angeluzuzen batek kateto baten inguruan biratzean sortzen den gorputz geometrikoa da.

Konoa zer den ulertzeko bideoa.

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Elementuak

2.irudia

Gidalerroa

Konoaren oinarriaren perimetroa da, kurba lau bat: zirkunferentzia, kono zirkularra bada; elipsea, kono eliptikoa bada.

Erpina

Gidalerroko planotik kanpo dagoen puntu finkoa da. 2. irudian, A puntua da erpina.

Sortzailea

Erpinetik eta gidalerroko puntu batetik pasatzen den zuzena da, eta halako zuzenen bildurak gainazal konikoa osatzen dute. Maldadun altuera ere esaten zaio.

Oinarria

Gidalerroak mugatzen duen azalerari oinarria deritzogu.

Gidalerroa zirkunferentzia bat bada, aurreko atalean aipatutako gainazal konikoak eta oinarriak mugatzen duten solidoa kono zirkular zuzen deitzen da.

Altuera

Erpinetik oinarrira dagoen distantzia da.

Irekiera

Bi zuzen sortzailek osatzen duten angelu handiena da.

Biraketa ardatza

Zuzen bat da, zeinaren inguruan konoa sortzeko zuzen sortzaileak biratzen duen. Begiratu 2. irudiko A-B zuzena.

Ardatza

Erpinetik oinarriaren zentrora doan segmentua da. 2. irudian A puntutik B puntura dijoan zuzena da.

Propietateak

Konoaren azalera

Konoaren azalera hurrengo formula honen bitartez kalkulatzen da:

$A=A_{oinarria}+A_{alboa}=$ $\pi \ r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi \ r^{2}=\pi \ r\ l+\pi \ r^{2}$

Non:
A = Azalera
r = Erradioa
h = Altuera
l = Aldearen altuera= ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$

Konoaren Bolumena

Konoaren bolumena, dimentsio berdinak dituen zilindro baten bolumenaren heren bat da. Beraz, zilindroaren bolumena $B=\pi \ r^{2}\ h$ izanik, konoaren bolumena hori erabiliz kalkula dezakegu:

$B={\frac {\pi \ r^{2}\ h}{3}}\,\!$

Non:
B = Bolumena
r = Erradioa
h = Altuera

Kono zeihar

Kono zeiharra biraketa ardatza oinarriarekiko perpendikularra ez duena da.

Bi mota daude: oinarri zirkular edo eliptikoduna. Azken hauek kono zuzen bat bere biraketa-ardatzarekiko plano zeihar baten bidez ebakitzean sortzen den gorputz geometrikoak dira.

3. irudia: Kono zuzen eta zeihar baten sekzioak

Kasu honetan, oinarria zirkunferentzia edo elipsea izan daiteke, eta altuera erpinetik pasatzen den eta oinarriarekiko perpendikularra den segmentua da, baina ez dator bat konoaren ardatzarekin.

Gainazala eta garapena

Kono zeihar baten albo-gainazala triangelu lerromakur bat da; hau da, oinarritzat kurba bat duena. Aldetzat bi sortzaile ditu eta oinarri erdi-eliptikoa.

Lehenago aipatu bezala, oinarriaren gainazala zirkunferentzia edo elipse bat da.

Bolumena

Kono zeihar baten bolumena kalkulatzeko erabiltzen den formula kono zuzenarenaren antzekoa da:

$B={\frac {\pi r^{2}h}{3}}$

non $\scriptstyle r$ oinarriaren erradioa den eta $\scriptstyle h$ kono zeiharraren altuera. Oinarria eliptikoa bada, aldiz, hurrengo formula dugu:

$B={\frac {\pi abh}{3}}$

non $\scriptstyle a$ eta $\scriptstyle b$ elipseare ardatzerdiak diren eta $\scriptstyle h$ kono zeiharraren altuera.

Bi formula hauen frogapena Cavalieriren hurrengo printzipioan oinarritzen da:

"Bi gorputzek altuera berdina badute eta gainera, altuera berdinetan egindako sekzioen azalera berdina bada, bolumen berdina dute"

Hala eta guztiz, kalkulo infinitisimalaren esparruan Cavalieriren printzipioa erabili gabe froga daitezke.

Konikak

4.irudia

Konika edo sekzio koniko bat, kono bat plano baten bitartez ebakitzean lortzen den kurba da. Konoko ebakiduraren arabera, lau konika desberdin daude:

Hiperbola (laranja)
Parabola (urdina)
Elipsea (berdea)
Zirkunferentzia (gorria)

Kurba konikoak garrantzitsuak dira astronomian, izan ere, grabitazioaren lege unibertsalaren arabera ebakitzen diren bi gorputz masiboek sekzio konikoen antzeko orbitak deskribatzen dituzte: elipseak, hiperbolak edo parabolak distantziaren, abiaduraren eta masen arabera.

Koordenatu kartesiarren ekuazioak

Geometria analitiko eta geometria diferentzialean, konoa, koordenatu kartesiarraren sisteman, honako ekuazio hau betetzen duten espazioko puntuen multzoa da:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,$

Multzo honek ondorengo funtzioaren irudiarekin bat egiten du eta konoaren parametrizazio ohikoa deritzo

$X(\theta ,t)=(at\cos(\theta ),bt\sin(\theta ),ct)$

$a=b\neq 0$ den kasuan, multzo hau z ardatzaren inguruko zuzen baten biraketaren bitartez sortzen da. Horren ondorioz, biraketa-parametrizazioa deritzo.

Konoa ez da gainazal erregular bat, baina, berezitasun bat du; erpina kenduz gero gainazal erregular ez-konexu eta irekia bihurtzen da. Horrez gain, konoaren ezaugarrietako bat gainazal arautua dela da, hau da, zuzen baten mugimenduen bitartez sor daiteke. Horrez gain, garatu daitekeen gorputz geometrikoa da, bestela esanda, plano batera heda daiteke. Horrek esan nahi du, bere kurbadura gaussiarra zero dela.

Kanpo estekak

Datuak: Q42344
Multimedia: Cones / Q42344