Elkarzut

Elkarzutak bi plano edo lerro zuzenez nahiz gehiagoz mintzatuz, elkarrekin angelu zuzena (90° edo π/2 radian) egiten dutenak dira, lerro biren arteko harreman horri elkarzutasun deritzo, geometria eta trigonometrian ikasten den oinarrizko propietate bat dena. Harreman hau elkarzutasun sinboloarekin, ⟂, adierazten da grafikoki.

CD lerroarekiko zuta den BA lerroa, BA eta CD lerroek osatzen dituzten bi angeluak (laranjaz eta urdinez adieraziak) 90º-koak direlako. B puntua A-tik igarotzen den CD segmentuarekiko elkarzutaren oina da, edo bestela esanda, A-ren oina CD-n.

Artikulu hau beste lerro batekin angelu zuzena egiten duen lerroari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Zut (argipena)».

Era berean, zut esaten zaio beste lerro edo plano batekin angelu zuzena egiten duen lerroari, eta biei elkarzutak direla, hau da, bata bestearekiko zutak.

Elkarzutasuna ortogonaltasunaren (kontzeptu matematiko orokorragoa) adibide berezia da. Elkarzutasuna objektu geometriko klasikoen ortogonaltasuna da, hain zuzen. Hau dela eta, matematika aurreratuetan, "elkarzut" hitzaren bidez ortogonaltasun geometrikoaren baldintza konplikatuagoak deskribatzen dira, gainazal baten eta bere bektore normalaren artean dagoena, besteak beste.

Definizioak

Lerro bat beste lerro batekiko elkarzuta dela esaten da bi lerroak angelu zuzenean gurutzatzen badira. Esplizituki, lehen lerro bat bigarren lerro batekiko zuta da, baldin eta (1) bi lerroak aurkitzen badira eta (2), elkargunean, lehen lerroaren alde bateko angelu zuzena bigarren lerroak bi angelu kongruentetan mozten badu. Froga daiteke elkarzutasuna simetrikoa dela, hau da, lehen lerro bat bigarren lerro batekiko zuta bada, bigarren lerroa ere lehenengoarekiko zuta dela. Horregatik, bi lerro elkarzutak direla esan dezakegu (elkarren artean), eta ez da beharrezkoa ordena zehaztea.

Elkarzutasuna ere aplika daiteke lerro-segmentuekin. Adibidez, ${\overline {AB}}$ lerro-segmentu bat ${\overline {CD}}$ lerro-segmentu batekiko zuta da, baldin eta, segmentu bakoitza bi norabidetan infinituraino luzatzean, lortutako bi lerro horiek elkarren artean zutak badira. Sinboloekin, hau honela adieraz dezakegu, ${\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}$, hau da, AB segmentua CD segmentuarekiko elkarzuta dela, eta alderantziz.

Lerro bat plano batekiko elkarzuta dela esaten da, planoko lerro bakoitzarekiko perpendikularra bada. Espazioko bi plano elkarzutak direla esaten da, baldin eta osatzen duten angelu diedroa angelu zuzena bada.

Elkarzut baten oina

"Oin" hitza maiz erabiltzen da elkarzutei lotuta. Erabilera hau goiko diagraman adierazten da eta bere irudi-oineko testuan. Diagrama edozein orientaziotan egon daiteke, oina ez da zertan behealdean egon.

Zehazkiago, izan bitez A puntu eta m lerro bat. Baldin eta B m lerroaren eta A-tik igarotzen den m-rekiko lerro elkarzutaren arteko ebakidura puntua bada, orduan B A-ren bidezko oina dela esaten da.

Elkarzutaren eraikuntza

P puntuan AB zuzenkiarekiko zuta den lerroaren eraikuntza

P puntutik igarotzen den AB zuzenarekiko zuta den lerro bat eraikitzeko modu ugari daude. Konpas bat eta erregela bat erabilita honela egiten da:

1. gorriz: Zirkulu bat eraikitzen da P puntua erdigunean duela eta modu horretan A' eta B' puntuak eraikitzen dira, Ptik distantzia berera daudenak.
2. orlegiz: A' eta B'n ardazten diren bi zirkulu eraiki, P puntutik igarotzen direnak. Bi zirkuluan batzen diren puntuak P eta Q izango dira.
3. urdinez: P eta Q batzen dira eta PQ lerro zuta eraikitzen da.

Lerro paraleloekiko erlazioa

Bi lerro (a eta b) hirugarren lerro batekiko (c) elkarzutak badira, hirugarren lerroan zehar eratutako angelu guztiak angelu zuzenak dira. Gainera, hirugarren lerro batekiko elkarzutak diren bi lerro haien artean paraleloak izango dira ($a\parallel b$). Era berean, lerro bat bigarren lerro batekiko elkarzuta bada, bigarren lerro horrekiko edozein lerro paralelorekiko elkarzuta ere izango da.

Irudian, laranjaz itzaldutako angelu guztiak bat datoz elkarren artean, baita berdez itzaldutako angelu guztiak ere. Angelu bertikalak haien artean kongruenteak dira, baita zeharkako lerro paraleloz ebakitako barne-angelu alternatiboak ere. Beraz, a eta b lerroak paraleloak badira, ondorio hauetako edozeinek beste guztiak inplikatzen ditu:

• Diagramaren angeluetako bat angelu zuzen bat da.
• Laranjaz itzaldutako angelu bat angelu berdez itzaldutako batekin bat dator.
• c lerroa a lerroarekiko elkarzuta da.
• c lerroa b lerroarekiko elkarzuta da.

• 

a eta b lerro paraleloak dira, c lerro elkarzut batek ebakitzen dituela. Ikus daiteke angelu guztiak (berdeak eta laranjak) angelu zuzenak direla, eta hortaz, a eta b lerroak c lerroarekiko elkarzutak direla.

Distantzien kalkuloa

Geometrian, bi objektuen arteko distantzia perpendikularra batetik besterako distantzia da, batarekiko edo biekiko elkarzuta den lerro batean neurtuta.

Puntu-lerro distantzia:

Puntu batetik lerro batera dagoen distantzia lerro horretatik hurbilen dagoen puntura dagoen distantzia da. Puntu horretatik emandako punturaino sortutako segmentua lerroarekiko elkarzuta da.

Puntu-kurba distantzia:

Era berean, puntu batetik kurba batera dagoen distantzia lerro segmentu baten bidez neurtzen da, lerro ukitzaile batekiko elkarzuta dena kurbaren puntu hurbilenean.

Puntu-plano distantzia:

Puntu batetik plano batera dagoen distantzia puntuan hasten den planoarekiko zuta den segmentu baten luzera da, hau da, segmentua planoko lerro guztiekiko elkarzuta da, planoan hurbilen dagoen puntutik puntu horretara igarotzen dena.

Beste adibideak:

• Plano batean jatorritik hurbilen dagoen puntua, jatorritik hiru dimentsioko planorako distantzia perpendikularra.

• Plano ezberdineko lerroen artean distantziarik txikiena, hiru dimentsioko espazioan bi lerro ez-paraleloren arteko distantzia perpendikularra.

Distantzia perpendikularraren kontzeptua orokortu egin daiteke.

• distantzia ortogonala, objektu ortogonal ez-geometriko abstraktuagoen artean, aljebra linealan bezala (adibidez, osagai nagusien analisia).

• distantzia normala, gainazal normala duena, puntu arbitrario baten eta gainazalean dagoen haren oinaren artean. Azalerak egokitzeko erabil daiteke.

Funtzioen grafikoak (bi dimentsioko planoan)

Bi dimentsioko planoan, angelu zuzenak bi lerro gurutzatuz osa daitezke haien malden emaitza biderkaduraren emaitza -1 bada. Hala, bi funtzio lineal definituz, y1 = m1x + n1 eta y2 = m2x + n2, funtzioen grafikoak elkarzutak izango dira eta lau angelu zuzen egingo dituzte bi lerroak gurutzatzen diren tokian m1m2 = -1 baldin badira. 1. Hala ere, metodo hau ezin da erabili lerroren baten malda zero edo zehaztugabea bada (lerroa ardatz batekiko paraleloa da).

Beste metodo bat dago ere, bi funtzio linealak hauek izan daitezela: a1x + b1y + c1 = 0 eta a2x + b2y + c2 = 0. Bi lerroak elkarzutak izango dira, baldin eta a1a2 + b1b2 = 0 bada. Zehazki, bi bektore ortogonaltzat hartzen dira haien arteko biderkadura eskalarraren emaitza zero bada.

Zirkulu eta beste konikoetan

Zirkuluak

Zirkulu baten diametro bakoitza zirkulu horren lerro ukitzailearekiko elkarzuta da, diametroak zirkunferentzia gurutzatzen duen puntuan.

Zirkuluaren zentrutik igarotzen den eta zirkuluaren korda bat erditik mozten duen segmentua, kordarekiko elkarzuta da.

Elkarzutak diren bi kordaren ebakidurak korda bat a eta b luzeretan banatzen badu, eta bestea c eta d luzeretan, orduan a2 + b2 + c2 + d2 diametroaren karratuaren berdina da.

Puntu jakin batean gurutzatzen diren bi korda elkarzuten luzera karratuen batura, puntu berean gurutzatzen diren beste bi edozein korda elkarzuten baturaren berdina da, eta $8r^{2}-4p^{2}$ da (r zirkuluaren erradioa eta p zentrutik ebakidura-puntura dagoen distantzia izanik).

Talesen teoremari jarraituz, bi lerro, zirkulu baten puntu beretik igarotzen direnak baina diametroko aurkako muturretatik igaroz, elkarzutak direla. Edo bestela esanda, zirkulu baten edozein diametroko bi ertzak zirkuluaren edozein puntuarekin angelu zuzen bat osatzen duela, diametroaren bi ertzetan izan ezik.

Elipseak

Elipse baten ardatz nagusiak eta txikienak elkarren artean elkarzutak dira, bai eta elipsearen ukitzaileekiko ardatzak elipsearekin gurutzatzen diren puntuetan.

Elipse baten ardatz nagusia elipsearen gida-lerroarekiko eta latus rectum-arekiko elkarzuta da.

Parabolak

Parabola batean, simetria-ardatza latus rectum, gida-lerro eta ukitzaile bakoitzarekiko elkarzuta da, ardatzak parabola gurutzatzen duen puntuan.

Parabola baten erpinaren ukitzailearen puntu batetik igaroz, parabolaren beste ukitzailea parabolaren fokutik puntu horrerainoko lerroarekiko elkarzuta da.

Parabola baten ezaugarri ortoptikoa: parabolaren bi ukitzaile elkarren artean elkarzutak badira, orduan gida-lerroan gurutzatzen dira. Alderantziz ere, gida-lerroan gurutzatzen diren bi ukitzaile elkarzutak dira. Horrek esan nahi du, bere gida-lerroko edozein puntutatik ikusita, edozein parabolak angelu zuzena osatzen duela.

Hiperbolak

Hiperbola baten zeharkako ardatza, ardatz konjokatuarekiko eta gida-lerro bakoitzarekiko elkarzuta da.

Hiperbola baten edo haren hiperbola konjokatuaren P puntu batetik, hiperbolaren asintoten arteko distantzien biderkadura konstante bat da, independentea P-ren kokapenarekiko.

Hiperbola laukizuzenaren asintotak elkarren artean elkarzutak dira, eta hiperbolaren eszentrikotasuna ${\sqrt {2}}$ da.

Poligonoetan

Hirukiak

Triangelu zuzen baten katetoak elkarren artean elkarzutak dira.

Triangelu baten altuerak beren oinarriekiko elkarzutak dira.

Triangelu isoszele baten Euler lerroa triangeluaren oinarriarekiko elkarzuta da.

Droz-Farny lerroaren teorema: triangelu baten ortozentroan gurutzatzen diren bi lerro elkarzutei propietate bati buruzkoa.

Harcourten teorema: lerro-segmentuen erlazioari buruzkoa, erpin batetik igarotzen diren eta triangeluaren zirkuluarteko edozein lerrorekiko elkarzutak diren segmentuen arteko erlazioari buruzkoa.

Laukiak

Karratu edo beste laukizuzen batean, alboko pare guztiak elkarzutak dira. Trapezioa bi alboko-pare elkarzut dituen trapezoidea da.

Lauki ortodiagonal bat lauki bat da, haren diagonalak elkarzut direla haien artean. Horien artean daude karratua, erronboa eta kometa. Brahmaguptaren teoremaren arabera, zirkularra den lauki ortodiagonal batean, alde baten erdiko puntutik eta diagonalen elkargunetik doan lerroa, beste aldearekiko elkarzuta da.

Van Aubelen teoremaren arabera, lauki baten alboetan karratuak eraikitzen badira, kontrako laukien erdiguneak lotzen dituzten lerro-segmentuak elkarzutak dira eta luzera berdina dute.

Lerroak hiru dimentsiotan

Hiru dimentsioko espazioetan hiru lerro elkarzut izan daitezke, kartesiar koordenatu-sisteman x, y eta z ardatzek adierazten duten bezala.

Kanpo estekak

• Datuak: Q205034
• Multimedia: Perpendicular / Q205034