Geometrian , poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.
Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra: C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa V = poligonoaren erpin bat L = poligonoaren alde bat d = poligonoaren diagonal bat r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa a = poligonoaren apotema Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).
Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).
Poligono erregularren elementuak
aldatu
Aldea (L ): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitzaErpina (V ): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntuaZentroa (C ): erpinetatik distantziakidea den puntuaErradioa (r ): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkiaApotema (a ): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkiaDiagonala (d ): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkiaPerimetroa (P ): alde guztien luzeren batura Poligono erregularren propietateak
aldatu
Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira. Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira. Poligono erregularren angeluak
aldatu
α = angelu zentrala, Poligono erregular baten angelu zentralak (
α
{\displaystyle \alpha \,}
kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n ) arabera:
α
=
360
∘
n
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}
gradu hirurogeitarretan )
α
=
2
π
n
{\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}
radianetan )Poligono erregular baten barne-angelua (
β
{\displaystyle \beta \,}
β
=
180
∘
⋅
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}
β
=
π
⋅
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}
Poligono erregular baten barne-angeluen batura (
∑
β
{\displaystyle \sum \beta \;}
∑
β
=
180
∘
⋅
(
n
−
2
)
{\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}
∑
β
=
π
⋅
(
n
−
2
)
{\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}
Poligono erregular baten kanpo-angelua (
γ
{\displaystyle \gamma \;}
γ
=
360
∘
n
{\displaystyle \gamma ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}
γ
=
2
π
n
{\displaystyle \gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;}
Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura (
∑
γ
{\displaystyle \sum \gamma \,}
∑
γ
=
360
∘
{\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}
∑
γ
=
2
π
{\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}
Poligono erregular batzuk
aldatu
Oharra : Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.
Poligono erregularraren azalera
aldatu
Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:
Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera
aldatu
A
=
P
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}
Froga
Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera,
A
h
{\displaystyle A_{h}}
A
h
=
L
⋅
a
2
{\displaystyle A_{h}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}
n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
A
=
L
⋅
a
2
⋅
n
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}
L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
A
=
P
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}\;}
Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera
aldatu
A
=
a
2
⋅
n
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }
Froga
A
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\ }
eta
δ
=
π
n
{\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }
L
=
2
⋅
a
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:
A
=
(
2
⋅
a
⋅
tan
(
π
n
)
)
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right))\cdot n\cdot a}{2}}\ }
A
=
a
2
⋅
n
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }
Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera
aldatu
A
=
n
r
2
sin
(
2
π
n
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
Froga
Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
L
=
2
r
sin
(
δ
)
{\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}
a
=
r
cos
(
δ
)
{\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}
non angelu zentrala hau den:
α
=
2
δ
=
2
π
n
{\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}
Poligonoaren azalera hau denez:
A
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}
eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
A
=
2
r
sin
(
δ
)
⋅
n
⋅
r
cos
(
δ
)
2
{\displaystyle A={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}
A
=
n
r
2
⋅
2
sin
(
δ
)
cos
(
δ
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}
Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
2
sin
(
δ
)
cos
(
δ
)
=
sin
(
2
δ
)
{\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}
A
=
n
r
2
sin
(
α
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}
A
=
n
r
2
sin
(
2
π
n
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
Azalera: aldearen arabera
aldatu
A
=
n
⋅
L
2
4
⋅
tan
(
π
2
(
n
−
2
)
n
)
{\displaystyle A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Froga
Poligonoaren azalera hau denez:
A
=
n
⋅
L
⋅
a
2
{\displaystyle A=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;}
Erabil dezagun
φ
{\displaystyle \varphi }
L " aldearen eta "r " erradioaren arteko angelua izendatzeko:
φ
=
π
−
α
2
=
π
−
2
π
n
2
=
π
2
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;}
Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):
tan
φ
=
a
L
2
=
2
a
L
{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}
Apotema askatuz gero, hau dugu:
a
=
L
⋅
tan
φ
2
{\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}
Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:
A
=
n
⋅
L
⋅
a
2
a
=
L
⋅
tan
φ
2
φ
=
π
2
(
n
−
2
)
n
}
⟶
A
=
n
⋅
L
2
4
⋅
tan
(
π
2
(
n
−
2
)
n
)
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Pentagono erregular bat eraikitzen Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz[ 1]
Alde, angelu
Poligonoa
Irudia
Barne-angelua
Aldea[ 1]
Azalera[ 1]
Animazioa: erregela eta konpasa erabiliz
3
Triangelu aldeberdina
60°
√3≅1,732
3/4·√3≅1,299
Eraikitze zehatza
4
Karratua
90°
√2≅1,414
2
Eraikitze zehatza
5
Pentagonoa
108°
≅1,176
≅2,378
Eraikitze zehatza
6
Hexagonoa
120°
1
3/2·√3≅2598
Eraikitze zehatza
7
Heptagonoa
≅128,57°
≅0,868
≅2,736
Gutxi gorabeherako
8
Oktogonoa
135°
≅0,765
2·√2≅2,828
Eraikitze zehatza
9
Eneagonoa
140°
≅0,684
≅2,893
Gutxi gorabeherako
10
Dekagonoa
144°
≅0,618
≅2,939
Eraikitze zehatza
11
Endekagonoa
≅147,27°
≅0,563
≅2,974
Gutxi gorabeherako
12
Dodekagonoa
150°
≅0,518
3
Eraikitze zehatza
13
Tridekagonoa
≅152,31°
≅0,479
≅3,021
Gutxi gorabeherako
14
Tetradekagonoa
≅154,29°
≅0,445
≅3,037
Gutxi gorabeherako
15
Pentadekagonoa
156°
≅0,416
≅3,051
Eraikitze zehatza
16
Hexadekagonoa
157,5°
≅0,390
≅3,061
Eraikitze zehatza
17
Heptadekagonoa
≅158,82°
≅0,367
≅3,071
Eraikitze zehatza 34-gonoa , 51-gonoa 85-gonoa , 255-gonoa
18
Oktodekagonoa
160°
≅0,347
≅3,078
Gutxi gorabeherako
19
Eneadekagonoa
≅161,05°
≅0,329
≅3,085
Gutxi gorabeherako
20
Ikosagonoa
162°
≅0,313
≅3,090
Eraikitze zehatza
257
257-gonoa
≅178,6°
≅0,024
≅3,141
Eraikitze zehatza
65.537
65.537-gonoa
≅179,9945°
≅0,000096
≅3,1416
Eraikitze partziala
Erreferentziak eta oharrak
aldatu
↑ a b c Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioak 1 balio duenean.
Triangelu aldeberdina (triangelu erregularra) (3)
Pentagono erregularra (5)
Hexagono erregularra (6)
Heptagono erregularra (7)
Oktogono erregularra (8)
Eneagono erregularra (9)
Dekagono erregularra (10)
Endekagono erregularra (11)
Dodekagono erregularra (12)
Tridekagono erregularra (13)
Tetradekagono erregularra (14)
Datuak: Q714886
Multimedia: Regular polygons / Q714886