Antzekotasun (geometria)

Matematikan, bi irudi geometriko antzekoak direla esaten da, forma bera badute haien tamainak kontuan hartu gabe. Beste hitz batzuetan, bi irudi antzekoak dira haiek definitzen dituzten distantziak proportzionalak direnean eta angeluak berdinak direnean. Esate baterako, eskala desberdineko bi mapa antzekoak dira, edukiaren forma ez baita aldatzen, baina tamaina bai.

Kolore bereko irudi geometrikoak antzekoak dira.

Antzekotasunak ulertzeko azalpena.

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Zehazkiago, horietako bat eskala uniforme baten bidez lor daiteke (handitzea edo murriztea), ziurrenik translazio, errotazio eta islapen gehigarriarekin. Horrek esan nahi du bi objektuetako edozein birreskalatu, birkokatu eta isla daitekeela, beste objektuarekin bat etor dadin. Bi objektu antzekoak badira, objektu bakoitza bestearen eskala uniforme jakin baten emaitzarekin bat dator.

Sarrera

Bi irudi geometrikoen arteko antzekotasuna defini daiteke lehen irudiko $A$ eta $B$ bi puntuen arteko distantzia zati bigarren irudiko dagozkien $A'$ eta $B'$ puntuen arteko distantzia konstantea denean, eta balio horrek antzekotasun-arrazoia du izena:

{\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha

Ikus daitekeenez, irudiko distantzia guztiek proportzionaltasun bera atxikitzen dute, eta angeluak aldiz ez dira aldatzen.

Antzekotasuna errotazioen, traslazioen, islapenen eta homotezien konposizio gisa adierazten da. Beraz, antzekotasunak irudi baten tamaina eta orientazioa alda ditzake, baina forma ez.

Errotazioa
Translazioa
Islapena
Homotezia

Ekuazioa

Bi propietate baliokide hauek ondoko ekuazioan elkartzen dira:

$(ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\widehat {A}}={\widehat {A}}'\\{\widehat {B}}={\widehat {B}}'\\{\widehat {C}}={\widehat {C}}'\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow \left({\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}\right)$

Antzeko triangeluak

Bi triangelu, △ABC eta △A'B'C', antzekoak dira, baldin eta dagokien angeluek neurri bera badute: horrek esan nahi du antzekoak direla, baldin eta dagozkien aldeen luzerak proportzionalak badira. Froga daiteke angelu kongruenteak (triangelu ekiangeluarrak) dituzten bi triangelu antzekoak direla, hau da, dagozkien aldeak proportzionalak izan daitezkeela. Horri AAA antzekotasun-teorema esaten zaio. Kontuan izan behar da "AAA" mnemoteknikoa dela: hiru A horietako bakoitza "angelu" bati dagokio. Teorema horren ondorioz, zenbait autorek sinplifikatu egiten dute antzeko triangeluen definizioa, soilik hiru angeluak kongruenteak izatea eskatzeko^[1].

Zenbait irizpide daude, eta horietako bakoitza beharrezkoa eta nahikoa da bi triangelu antzekoak izateko:

Edozein angelu kongruente, geometria euklidianoan bere hiru angeluak kongruenteak direla adierazten duena:
Baldin eta $∠ BAC$ balioa berdina bada B ρA ρC graduko tamainan, eta $∠ ABC$ balioa berdina bada A ρB graduko C graduko tamainan, horrek esan nahi du $∠ ACB$ balioa berdina dela A graduko B graduko graduko tamainan eta triangeluak antzekoak direla.

Dagozkion alde guztiak proportzionalak dira:

Bi aldeak proportzionalak dira, eta alde horien artean sartutako angeluak kongruenteak dira:

Horri SAS antzekotasun-irizpidea deitzen zaio. "SAS" mnemonikoa da: bi S horietako bakoitza "alde" bati dagokio (ingelesezko side hitzetik); A bi aldeen arteko "angelu" bati dagokio.

Sinbolikoki, bi triangeluren antzekotasuna eta antzekotasun eza (ABC eta A'B'C) honela idazten dugu:

ABC\sim A'B'C'

ABC\nsim A'B'C'

Geometria euklidianoan antzeko triangeluei buruzko oinarrizko zenbait emaitza daude^[2]:

Bi triangelu aldeberdinak antzekoak dira.
Bi triangelu, biak hirugarren triangelu baten antzekoak, elkarren antzekoak dira (triangeluen antzekotasunaren iragankortasuna).
Antzeko triangeluei dagozkien altitudeek dagozkien aldeen proportzio bera dute.
Bi triangelu zuzen antzekoak dira hipotenusak eta beste aldeak luzera bera badute. Kasu honetan, zenbait baldintza baliokide daude, hala nola neurri bereko angelu zorrotza duten triangelu zuzenak, edo aldeen luzerak proportzio berean dituztenak.

ABC triangelu angeluzuzen bat eta DE lerro segmentu bat emanda, erregela eta konpasa erabiliz, F puntu bat aurki dezakezu non, Baldintza hori betetzen duen F puntua Wallisen postulatua dela dioen baieztapena Euklidesen postulatu paraleloaren baliokidea da, noski. Geometria hiperbolikoan (Wallisen postulatua faltsua denean), antzeko triangeluak kongruenteak dira.

Birkhoff-ek emandako geometria euklidianoaren tratamendu axiomatikoan (ikus Birkhoff-en axiomak), lehenago emandako SAS antzekotasun-irizpidea erabili zen, bai Euklidesen Postulatu Paraleloa bai SAS axioma ordezteko; horri esker, Hilbert-en axiomak modu nabarmenean laburtu ziren.

Antzeko triangeluek geometria euklidianoan proba sintetiko askoren oinarria ematen dute (koordenaturik erabili gabe). Horrela froga daitezkeen oinarrizko emaitzen artean daude: teorema bisektoriala, batezbesteko geometrikoaren teorema, Cevaren teorema, Menelaoren teorema eta teorema pitagorikoa. Antzeko triangeluek triangelu zuzenaren trigonometriaren zimenduak ere ematen dituzte.

Erreferentziak

↑ Venema, Gerard. (2006). The foundations of geometry. Pearson Prentice Hall ISBN 0-13-143700-3. PMC 57509177. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).
↑ Jacobs, Harold R.. (1974). Geometry. W.H. Freeman ISBN 0-7167-0456-0. PMC 749954. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).

Ikus, gainera

Kanpo estekak

Datuak: Q254465
Multimedia: Similarity (geometry) / Q254465

[1] Venema, Gerard. (2006). The foundations of geometry. Pearson Prentice Hall ISBN 0-13-143700-3. PMC 57509177. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).

[2] Jacobs, Harold R.. (1974). Geometry. W.H. Freeman ISBN 0-7167-0456-0. PMC 749954. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).

[1]

[2]