Aztarna (aljebra)

Aljebra linealean, matrize karratu baten aztarna bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Hau da,

$\operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

non a_ij i-garren errenkadan eta j-garren zutabean dagoen elementua den.

Adibideak

$A={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(A)=3+4+2=9.\,\!$

$B={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&-7\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(B)=3+4+(-7)=0.\,\!$

Propietateak

• Aztarna eragile lineal bat da:

$\operatorname {tr} \left(A+B\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)+\operatorname {tr} \left(B\right)$

$\operatorname {tr} \left(rA\right)=r\left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)$

$A\,$ eta $B\,$ matrize karratuak izanik, eta $r\,$ eskalar bat.

• Matrizea iraultzeak ez duenez eraginik sortzen diagonal nagusian,

$\operatorname {tr} \left(A^{T}\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)$

• $A\,$ $n\times m$ dimentsioko matrize bat bada eta $B\,$ $m\times n$ dimentsiokoa, orduan

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\operatorname {tr} \left(BA\right)$

Frogatzeko, aintzat hartu behar dugu $A\,$ eta $B\,$ matrizeen biderkadura honelakoa dela

$[AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}$

hortaz, $AB\,$-ren aztarna honela adieraz dezakegu

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}$

eta batuketaren elkartze-propietatea kontuan hartuz gero

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[AB]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)$

Azpimarratu behar dugu $AB\,$ $n\times n$ dimentsioko matrize karratu bat dela, eta $BA\,$, aldiz, $m\times m$ dimentsioko matrize bat.

Kanpo estekak

• Datuak: Q321102