Zenbaki perfektu

Matematikan, zenbaki perfektua zenbaki arrunta da, bere zatitzaile propioen (alegia, 1a kontuan hartuta, baina ez zenbakia bera) baturaren balio bera duena. Bestela esanda, zenbaki perfektua da bere buruaren zenbaki laguna dena. Adibidez, 6 zenbaki perfektua da; bere zatitzaile propioak 1, 2 eta 3 dira eta 1 + 2 + 3 = 6 da. Hurrengo zenbaki perfektuak 28, 496 eta 8128 dira.

Historia

Euklides matematikariak lehengo lau zenbaki perfektuetarako $2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)$ formula aurkitu zuen, non bigarren faktorea zenbaki lehena baita.

n = 2:   2¹ × (2² – 1) = 6

n = 3:   2² × (2³ – 1) = 28

n = 5:   2⁴ × (2⁵ – 1) = 496

n = 7:   2⁶ × (2⁷ – 1) = 8128

2ⁿ-1 zenbaki lehena zela konturatzean, Euklidesek frogatu zuen 2^n-1(2ⁿ-1) formulak zenbaki perfektu bikoiti bat sortzen zuela 2ⁿ-1 lehena zenean. Antzinaroko matematikari askok zenbaki perfektuen aieru asko egin zituzten ezaguzten zituzten lau zenbaki perfektuetan oinarrituz. Aieru hauen askok gezurrezkoak ziren. Adibidez, 2, 3, 5, eta 7 lehenengo zenbaki lehenak zirenez, bostgarren zenbaki perfektua n=11 erabiliz lortuko zen, 11 bostgarren zenbaki lehena izanik. Aldiz, 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 × 89, ez da lehena, eta horregatik, n=11 zenbaki lehenak ez du zenbaki perfekturik osatzen. Gezurrezko beste bi suposizioak hauek izan ziren.

1. Bostgarren zenbaki perfektuak bos zifra izango ditu, lehenengo laurak 1, 2, 3 eta 4 zifra dituztelako, hurrenez hurren. Hori ezeztatzeko, bostgarren zenbaki perfektuak (33 550 336) 8 zifra ditula dakigu.
2. Zenbaki perfektuak 6 eta 8 zifrez txandakatuz amaituko lirateke. Egia da bostgarren zenbaki perfektua 6z amaitzen dela, baina seigarrena (8 589 869 056) ere 6z amaitzen da, suposizioa ezeztatuz.

1603. urtean, Pietro Cataldik seigarren eta zazpigarren zenbaki perfektuak kalkulatu zituen, 8 589 869 056 eta 137 438 691 328, hurrenez hurren.

Gaur egun, 2ⁿ-1 formularekin lortutako zenbaki lehenak Mersenne-ko zenbaki lehenak izenarekin ezagutzen dira, XVII. mendeko Marin Mersennemonjearen ohorean, zenbakien teoria eta zenbaki perfektuak aztertu zituena.

Geroago, XVIII. mendean, Leonhard Eulerrek frogatu zuen zenbaki perfektu bikoiti guztiak lortzen zirela Euklidesek aurkitu zuen formularekin.

Ez dira ezagutzen zenbaki perfektu bakoitiak, baina ezagutzen dira horren soluzio partzialak. Zenbaki perfektu bakoitia existitzen bada, 10³⁰⁰ baino handiagoa izan behar da, izan behar ditu gutxienez 8 faktore lehen (eta 11 gutxienez ez bada 3-rekin zatigarria), faktore horietako bat 10⁷ baino handiagoa izan behar da, horietako bi 10⁴ baino handiagoak izan behar dira, eta horietako hiru 100 baino handiagoak.

2018ko abenduaren 7an, zenbaki lehen handiena ezagutzean 2^{82 589 933}-1 (edo M_{82 589 933} ohiko notazioan), lortu zen zenbaki perfektu handiena ere, zerrendako 51. postua hartzen duena, 49.724.095 zifra dituena: 2^{82 589 932}(2^{82 589 933}-1).

Zenbaki perfektu bikoitien beste propietateak

Zenbaki triangeluarrak dira

Zenbaki triangeluar batek ${\tfrac {n^{2}+n}{2}}$ itxura duena da, non $n\in \mathbb {N}$ . $2^{p-1}(2^{p}-1)={\tfrac {(2^{p}-1)+1}{2}}(2^{p}-1)$ identitatea berrantolatzean:$2^{p-1}(2^{p}-1)={\tfrac {(2^{p}-1)^{2}+(2^{p}-1)}{2}}$ lortzen dugu.

$2^{p}-1$ Mersenne-ko zenbaki lehena da, eta identitatearen eskumaldea hartzen du zenbaki triangeluarraren itxura.

Zenbaki konbinatorioak edo binomioaren koefizienteak dira

Zenbaki triangeluar guztiek Paskalen hirukian daudenez, eta ikusi dugunez zenbaki perfektu guztiek triangeluarrak direla, zenbaki perfektuak ere konbinatorioak dira. ${\tbinom {2^{p}}{2}}$, non $2^{p}$ Mersenne zenbakia den unitate batean handiagotuz.

Zenbaki hexagonalak dira

Zenbaki hexagonal batek $n(2n-1)=2n^{2}-n$ itxura du, $n\in \mathbb {N}$, $n=2^{p-1}$ izanik.

Galdera irekiak

Galdera irekiak frogatu gabeko propietateak dira. Gai honen inguruan dauden galdera irekiak:

• Orain arte, 51 zenbaki perfektu existitzen dira, baina ez da frogatu infinitu zenbaki perfektu existitzen direnik.
• Frogatzea zenbaki perfektu bakoiti baten ezintasuna edo baten bat aurkitzea.

Ikus, gainera

• Zenbaki oparoa
• Zenbaki defektiboa
• Zenbaki laguna
• Zenbaki alaiak

Kanpo estekak

• Datuak: Q170043
• Multimedia: Perfect number / Q170043