ماتریس معین

در بحث تعیین علامت عبارت‌های ریاضی، برخی توابع به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان، مثبت و برخی توابع، به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان منفی هستند که به ترتیب، توابع با علامت معین (یا به اختصار معین) نامیده می شوند و به توابعی که گاهی مثبت و گاهی منفی هستند توابع نامعین می گویند. بحث تعیین علامت در کتاب‌های ریاضی دبیرستان در سطحی مقدماتی ارائه می شود. برای تعیین علامت عبارت‌های درجه ۲ همگن شامل $n$ متغیر $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ به طور کلی به صورت

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} .$

که در آن ضرایب ثابت را در یک ماتریس مانند $A$ می‌نویسیم و مجهولات را در قالب بردار مجهولات $x$ نشان می‌دهیم. حال اگر برای همه مقادیر مختلف بردار $x$

$x^{*}Ax\geq 0$

گوییم عبارت داده شده (و همچنین ماتریس نمایش $A$) معین مثبت است.

ثابت می‌شود در ماتریس‌های هرمیتی:

اگر همه مقادیر ویژه ماتریس $A$ مثبت باشند، $A$ معین مثبت است.

اگر همه مینورهای ماتریس (دترمینان ماتریس‌های پیشرو)، مثبت باشند ماتریس معین مثبت است.