Eksponentiaalinen hajoaminen

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen arvo pienenee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen suureen senhetkiseen arvoon. Eksponentiaalisesti vähenevä suure N toteuttaa siis hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

Eksponentiaalinen hajoaminen. Kuvaajasta nähdään, että hajoaminen on sitä nopeampaa, mitä suurempi on hajoamisvakio. Kuvaajaan on piirretty eksponentiaalinen hajoaminen hajoamisvakion arvoilla 25, 5, 1, 1/5, ja 1/25 x:n arvoilla nollasta viiteen.

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N,$

missä λ on positiivinen luku. Tätä verrannollisuuskerrointa kutsutaan myös hajoamisvakioksi.

Eksponentiaalinen väheneminen on luonnon ilmiöissä yleinen vähenemistahti. Yhtälöä kutsutaankin hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

${\frac {dN}{N}}=-\lambda dt$

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N₀ eli N:n arvo hetkellä t=0 ja N_t eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t.

$\int _{N_{0}}^{N_{t}}{\frac {dN}{N}}=-\lambda \int _{0}^{t}dt$

$ln{\frac {N_{t}}{N_{0}}}=-\lambda t$

josta saadaan lopulta ratkaistua N_t:

$N_{t}=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet

Puoliintumisaika ja keskimääräinen elinaika.

Puoliintumisaika

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla $N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$, eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi

$T={\frac {\ln 2}{\lambda }}$

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla $\lambda =\ln 2/T$ hajoamislain integraalimuotoon):

$N_{t}=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln 2}{T}}t}=N_{0}\cdot 2^{-{\frac {t}{T}}}$

Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa ($t=T$) suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua ($t=2T$) neljäsosaan jne.

Keskimääräinen elinaika

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika $\tau$. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}$

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N₀ ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Useita rinnakkaisia hajoamisia

Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

$-{\frac {dN_{t}}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N\,$

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla $\lambda _{1}+\lambda _{2}=\lambda _{c}$. Tällöin ${\frac {dN_{t}}{dt}}=-\lambda _{c}N$

Nyt saadaan yhtälö

${\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\,$, josta ratkaisemalla saadaan

$\tau _{c}={\frac {\tau _{1}\cdot \tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}$

Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa

${\frac {1}{\tau _{c}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\tau _{i}}}$

Esimerkkejä

• Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.

• Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.
• Korkealla ilmakehässä, ilmanpaine vähenee eksponentiaalisesti korkeuden funktiona.

Katso myös

• Alkeisreaktio
• Eksponenttifunktio
• Eksponentiaalinen kasvu

Aiheesta muualla

• A stochastic simulation of exponential decay
• Tutorial on time constants (Arkistoitu – Internet Archive)