Kenttäviiva

Kenttäviiva on vektorikenttään liittyvä käyrä, jonka tangentti käyrän jokaisessa pisteessä on kentän suuntainen. Kenttäviivoja käytetään havainnollistamaan vektori­kenttiä, joita on vaikea kuvata ilman niitä. Samoin kuin leveys- ja pituuspiirit pallon pinnalla tai korkeuskäyrät topografi­kartalla, eivät kenttä­viivatkaan ole todellisia fysikaalisia viivoja, jotka todella olisivat kentässä tietyissä kohdissa, vaan ne ovat vain kentän havain­nollis­tamiseksi keksitty apuväline.

Sähkökenttien kenttäviivoja. Vasemmalla kenttäviivat positiivisen, keskellä negatiivisen varauksen ympärillä. Oikealla tilanne, kun varausta ei ole.

Vasemmalla kenttäviivat kahden lähellä toisiaan olevan positiivisen varauksen ympärillä. Oikealla kenttäviivat sähköisen dipolin ympärillä, jonka muodostavat positiivinen ja negatiivinen varaus.

Käyrät, jotka kulkevat kohtisuoraan kaikkia voimaviivoja vastaan kutsutaan ekvipotentiaalikäyriksi. Ne ovat usein itseensä sulkeutuvia.

Kenttäviivat ovat kaikkialla kohtisuorassa kentän ekvipotentiaaleja eli sellaisia pintoja vastaan, joilla kentän potentiaali on vakio.

Täsmällinen määritelmä

Vektorikenttä on avaruuden jokaisessa pisteessä tietyn suuntainen, paitsi missä se on nolla. Vektori­kentän kenttä­viiva voidaan muodostaa piirtämällä jostakin kentän pisteestä alkava viiva, joka jokaisessa kohdassaan on kentän suuntainen. Täsmällisemmin sanottuna käyrän tangentti on joka kohdassa saman suuntainen kuin kenttä kyseessä pisteessä. Saman kentän kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan.

Täydellinen geometrinen kuvaus vektorikentän kaikista kenttä­viivoista riittää täysin määrittämään vektorikentän suunnan kaikkialla. Jotta kenttä­viivat ilmaisisivat myös vektori­kentän suuruuden, valitaan piirrettäväksi vain tietty määrä kenttä­viivoja siten, että näitä viivoja on eri alueilla sitä tiheämmässä, mitä suurempi itseis­arvoltaan vektori­kenttä missäkin on. Toisin sanoen kenttää vastaan kohtisuorien kenttäviivojen lukumäärä pinta-alayksikköä kohti on suoraan verrannollinen vektori­kentän suuruuteen tällä alueella.

Divergenssilauseen mukaan kentät alkavat alueilta, joissa vektori­kentän divergenssi on positiivinen ja päättyvät alueille, joissa sen divergenssi on negatiivinen. Edellisiä sanotaan kentän lähteiksi, jälkimmäisiä nieluiksi. Fysiikassa kenttäviivojen piirtäminen on kätevää varsinkin tapauksissa, joissa mahdollisilla lähteillä ja nieluilla on jokin selvä fysikaalinen merkitys (toisin kuin esimerkiksi radiaalisen harmonisen oskillaattorin tapauksessa).

Esimerkkejä

Sähkökenttä

Gaussin lain mukaan sähkö­kentän lähteitä ovat positiiviset, nieluja negatiiviset varaukset ja vain ne. Näin ollen kenttä­viivat alkavat positiivisista ja päättyvät negatiivisiin varauksiin, elleivät ne ulotu jommassa­kummassa päässään äärettömän kauas. Sitä vastoin sellaisen sähkö­kentän kenttä­viivat, joka syntyy Faradayn induktio­lain mukaisesti muuttuvassa magneettikentässä syntyy myös sähkö­kenttä, mutta tässä tapauksessa sen kenttäviivat voivat olla myös suljettuja käyriä tai ulottua molemmissa päissään äärettömän kauas.

Jotta kenttäviivat, joiden niiden tiheys on verrannollinen kentän suuruuteen, kuvaisivat tilannetta oikein, on kuitenkin otettava huomioon kaikki kolme ulottuvuutta. Ajatellaan esimerkkinä yksittäisen eristetyn piste­varauksen sähkökenttää. Tässä tapauksessa kenttä­viivat ovat suoria viivoja, joita lähtee varauksesta kaikkiin suuntiin kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Tämä merkitsee, että niiden tiheys on kääntäen verrannollinen varauksesta mitatun etäisyyden neliöön (suoraan verrannollinen lausekkeeseen $1/r^{2}$), samoin kuin Coulombin lain mukaan onkin sähkökentän voimakkuuden laita. Jos kuitenkin kenttäviivoja piirretään vain kaksi­ulotteiselle tasolle, niiden kaksi­ulotteinen tiheys tuleekin kääntäen verrannolliseksi etäisyyteen, mikä ei vastaa sähkökentän voimakkuutta eri kohdissa.

Magneettikenttä

Ehkä tunnetuin esimerkki vektorikentästä on magneettikenttä, jota usein havainnollistetaan magneettia ympäröivien kenttäviivojen avulla.

Gaussin lain magneettikentällä ei ole lähteitä eikä nieluja, minkä vuoksi kenttäviivoilla ei ole alkua eikä loppua. Ne ovat joko suljettuja käyriä tai ulottuvat molemmissa päissään äärettömän kauas. Toisinaan ne piirretään alkamaan magneetin pohjoisnavasta ja päättymään sen etelänapaan, mutta itse asiassa niiden on ajateltava jatkuvan myös magneetin sisällä sen etelänavasta pohjoisnapaan, jolloin niistä muodostuu joko suljettuja tai molemmissa päissään äärettömyyteen ulottuvia käyriä.

Gravitaatiokenttä

Gravitaatiokentällä ei ole lähteitä, mutta sillä on nielu kaikkien massallisten kappaleiden kohdalla. Näin ollen gravitaatio­kentän kenttä­viivoilla ei ole alku­kohtaa vaan ne tulevat äärettömän kaukaa, mutta ne päättyvät massoihin.

Esimerkkejä

Myös virtaavaa ainetta, nestettä tai kaasua, voidaan kuvata kenttä­viivoilla. Tällöin niiden suunta kussakin paikassa esittää virtauksen suuntaa, tiheys taas sen nopeutta.

Divergenssi ja roottori

Kenttäviivojen kulku osoittaa myös, onko kenttä pyörteetön tai lähteetön.

• kentän divergenssi ilmenee selvästi kenttä­viivoista, kunhan ne on piirretty siten, että niiden tiheys on verrannollinen kenttä­vektorin suuruuteen, kuten edellä on selitetty. Tässä tapauksessa kentän divergenssiä divergessi ilmenee tietyltä alueelta alkavien tai sinne päättyvien kenttäviivojen luku­määrästä. Jos vektori­kenttä on sellaisten kenttien resultantti, joista jokainen on kääntäen verrannollinen etäisyyteen jostakin lähteestä, tämä vastaa sitä, että tällaisen kentän divergenssi lähteiden ulkopuolella on nolla. Lähteettömässä vektori­kentässä, jonka divergenssi on kaikkialla nolla, kenttä­viivoilla ei ole alkua eikä loppua, vaan ne joko ovat suljettuja silmukoita tai ulottuvat molemmissa päissään äärettömän kauas. Jos vektori­kentällä on jollakin alueella positiivinen divergenssi, sieltä alkaa kenttä­viivoja. Jos taas sillä on jollakin alueella negatiivinen divergenssi, sinne päättyy kenttä­viivoja.

• Stokesin lauseesta seuraa, että jos vektori­kentän roottori on kaikkialla nolla eli kenttä on pyörteetön (konserva­tiivinen), sen kenttä­viivat eivät voi olla suljettuja silmukoita. Näin on esimerkiksi gravitaatiokentän laita klassisen mekaniikan mukaan sekä sähkö­staattisen kentän. Toisin sanoen roottori on aina nollasta poikkeava ainakin joillakin alueilla, jos kenttä­viivat ovat suljettuja. Toisaalta vaikka kenttä olisikin nollasta poikkeava, kenttä­viivat eivät välttämättä ole suljettuja silmukoita vaan ne voivat olla myös esimerkiksi ruuviviivan tapaan kierteisiä.

Fysikaalinen merkitys

Rautajyväset järjestyvät sillä tavoin, että ne suurin piirteen kuvaavat osaa magneettikentän kenttäviivoista. Magneettikentän synnyttää kestomagneetti.

Vaikka kenttäviivat ovat oikeastaan vain matemaattinen konstruktio, joissakin tilanteissa niillä on selvä fysikaalinen merkitys. Virtaus­mekaniikassa nopeuskentän kenttäviivat, virtausviivat, osoittavat virtaavan aineen hiukkasten liike­ratoja. Plasma­fysiikassa elektronit tai ionit, jota ovat samalla kenttä­viivalla, vuoro­vaikuttavat keskenään voimakkaasti, kun taas eri kenttä­viivoilla olevat hiukkaset eivät yleensä vuoro­vaikuta. Tässä suhteessa niiden käyttäytyminen muodostaa rauta­jyvästen käyttäytymistä magneetti­kentässä.

Jos magneetin ympärille levitetään rauta­jauhetta, sen jyväset kääntyvät ferro­magneetti­suutensa vuoksi kentän suuntaisiksi. Samalla ne magnetoituvat, jolloin kunkin jyväsen pohjois­napa vetää puoleensa toisen kohtion etelä­napaa. Tällä tavoin jyväsistä muodostuu ketjuja, jotka johtavat alku­peräisen magneetin toisesta navasta toiseen ja kulkevat sitä ympäröivän kentän kenttä­viivojen mukaisesti. Koska jyvästen oma magneettisuus muuttaa kenttää, niiden muodostamat viivat vastaavat kuitenkin vain liki­pitäen alkuperäistä magneetti­kenttää. Lisäksi todelliset magneetti­kentät ovat jatkuvia, eikä niissä ole erillisiä viivoja.

Katso myös

• Kenttä (fysiikka)
• Vektorikenttä

Lähteet

• David J. Griffits: Introduction to Electrodynamics (3. painos), s. 65–67, 232. Prentice Hall, 1998. ISBN 0-13-805326-X
• Visualization of Fields and the Divergence and Curl Massachusetts Institute of Technology. Viitattu 9.10.2015.

Kirjallisuutta

• Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät. (Moniste 381) Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2

Aiheesta muualla

• Interaktiivinen Java-applet, joka osoittaa sähkökentän kenttäviivat valittujen varausten ympärillä chair.pa.msu.edu. Arkistoitu 13.8.2011. Viitattu 9.10.2015.