Maxwellin–Boltzmannin jakauma

Maxwellin–Boltzmannin jakauma on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.

Maxwell–Boltzmann

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	$a>0$
Määrittelyjoukko	$x\in (0;\infty )$
Tiheysfunktio	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}$
Kertymäfunktio	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}$ missä erf on virhefunktio
Odotusarvo	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Moodi	${\sqrt {2}}a$
Varianssi	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
Vinous	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Huipukkuus	$\gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}$
Entropia	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

Yleinen Maxwellin jakauma

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa

$f(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}},$

missä

• π on vakio pii
• $e$ on Neperin luku
• $a$ on vakio, joka yli 0
• $x$ on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

$F(x)={\textrm {erf}}\left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}},$

missä ${\textrm {erf}}$ on virhefunktio.

Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulle

Maxwell-Boltzmannin jakauma

Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

$f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}$

eli

$f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\exp \left[{\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right]$

tai

$F(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {m_{M}}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {m_{M}v^{2}}{2kT}}\right)=4\pi \left({\frac {M}{2\pi RT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {Mv^{2}}{2RT}}\right),$

missä

• $F(v)$ on nopeudella $v$ liikkuvien kaasumolekyylien osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
• $m$ on keskimääräinen molekyylimassa kilogrammoina
• $k$ on Boltzmannin vakio 1,3806503·10^-23 JK^-1
• $T$ on lämpötila Kelvineinä
• $v$ on kaasumolekyylin vauhti $|{\overline {v}}|$
• $M$ on yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
• $R$ on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla

Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksia

Yleisin kaasuosasen nopeus $v_{p}$ lasketaan kaavasta

$v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}},$

missä

• $k$ Boltzmannin vakio
• $T$ lämpötila
• $m$ molekyylimassa
• $R$ yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
• $M$ yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

$\langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}.$

Kvanttiteoreettiset jakaumat

Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle. Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Silloin kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon, energiatilojen miehitys vastaa Boltzmannin jakaumaa. Nopeusjakauma, eli Maxwellin-Boltzmannin jakauma, puolestaan voidaan johtaa energiajakaumasta.

Katso myös

• Ideaalikaasu
• Normaalijakauma

Lähteet

• Paakkari, T.: Termofysiikka. (s. 107–113) Limes ry, 1997.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Maxwellin–Boltzmannin jakauma Wikimedia Commonsissa

• Maxwellin jakauma MathWorld (englanniksi)