Moduli (algebra)

Abstraktissa algebrassa moduli on vektoriavaruuden yleistys. Ainoa ero on, että kerroinkunnan (eli "skalaarien") ei tarvitsekaan olla kunta: riittää, että se on rengas.

Erona on siis se, että skalaarien kertolaskun ei tarvitse olla vaihdannainen, nollasta poikkeavillakaan skalaareilla ei tarvitse olla käänteisalkiota, ja skalaarien joukko saa olla jopa $\{0\}$ (ks. rengas).

Motivointi

Vektoriavaruudessa skalaarit muodostavat kunnan. Niillä voi kertoa vektoreita. Kertolasku toteuttaa tietyt laskutoimituslait, esimerkiksi osittelulait.

Esimerkiksi vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{2}$ tai $\mathbb {R} ^{n}$ skalaarit ovat reaalilukuja. Niillä voi kertoa kyseisen vektorin, jolloin sen suunta säilyy mutta pituus moninkertaistuu skalaarin verran. Esimerkiksi $3\cdot (2,3)=(6,9)$.

Modulissa riittää, että skalaarit muodostavat renkaan, joten moduli on merkittävä yleistys vektoriavaruudesta. Tämä on ainoa ero; muut vasemman modulin ehdot ovat samat: alla esitetyt neljä skalaarikertolaskun aksioomaa ja se, että skalaarikerrottavien olioiden joukko (vektoriavaruus tai moduli) on Abelin ryhmä.

Moduleiden teoria perustuu paljolti siihen, että suuri osa vektoriavaruuden tuloksista on saatu yleistettyä moduleille. Skalaarikunnan tilalla voi siis olla esimerkiksi pääideaalirengas. Kaikkia vektoriavaruuden tulokset eivät kuitenkaan päde kaikille moduleille. Esimerkiksi kaikilla moduleilla ei ole kantaa, ja osa niistäkin, joilla on, kuten vapaat modulit, käyttäytyvät joiltain osin merkittävästi eri lailla kuin vektoriavaruudet.

Modulit ovat keskeinen käsite kommutatiivisessa algebrassa, joka taas on tärkeä matematiikan osa-alue esimerkiksi:

• algebrallisessa geometriassa
• homologisessa algebrassa ja algebrallisessa topologiassa
• ryhmien esitysteoriassa.

Määritelmä

Renkaan R vasen moduli eli vasemmanpuolinen moduli sisältää Abelin ryhmän (M,+) ja skalaarikertolaskun R × M → M, jota merkitään rx, missä r kuuluu R:ään ja x kuuluu M:ään siten, että kaikilla R:n alkioilla r,s ja M:n alkioilla x,y on voimassa

1. r(x+y) = rx+ry
2. (r+s)x = rx+sx
3. (rs)x = r(sx)
4. 1x = x

Tätä voidaan myös sanoa M:n vasemmaksi R-moduliksi tai _RM. Oikeanpuolisessa modulissa ehto 3. korvataan ehdolla (sr)x = r(sx).

Toisin kuin tässä artikkelissa oletetaan, kirjallisuudessa ei aina vaadita renkaiden olevan ykkösellisiä. Tällöin myöskään moduliehtojen ehtoa 4 ei tietenkään vaadita. Jos modulissa on kuitenkin yksikköalkio, sanotaan, että moduli on ykkösellinen.

Bimoduli on moduli joka on sekä vasen, että oikea moduli. Jos rengas R on kommutatiivinen, on vasen R-moduli sama kuin oikea R-moduli. Tällöin molempia moduleita kutsutaan yksinkertaisesti nimellä R-moduli.

Esimerkkejä

• Jos K on kunta, ovat K-modulit ja K-vektoriavaruudet sama asia.
• Jos $R=\{0\}$ eli $1=0$, niin $M=\{0\}$.