Onnellinen luku

Onnellinen luku on positiivinen kokonaisluku, jonka numeroiden neliöiden summasta saadaan ennen pitkää luku yksi jatkamalla seuraavaa prosessia: otetaan positiivinen kokonaisluku ja lasketaan sen numeroiden neliöt yhteen. Siitä, saadaanko summaksi 1 vai toistuuko prosessi äärettömiin samanlaisena, ilmenee, onko luku onnellinen.

Esimerkiksi 7 on onnellinen luku, koska

$7^{2}=49$

$4^{2}+9^{2}=97$

$9^{2}+7^{2}=130$

$1^{2}+3^{2}+0^{2}=10$

$1^{2}+0^{2}=1$.

Jos luku on onnellinen, myös välivaiheiden summat ovat onnellisia lukuja. Edellisessä tapauksessa siis 49, 97, 130 ja 10 ovat onnellisia.

Kymmenen ensimmäistä onnellista lukua ovat 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32 ja 44. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole onnellisia, ovat onnettomia.

Jos jokin luku on onnellinen, kaikki sen luvun numeroista numeroiden järjestystä vaihtamalla tai nollia lisäämällä saadut luvut ovat myös onnellisia lukuja, koska laskujärjestys on yhteenlaskussa merkityksetön ja koska

$n^{2}+0^{2}=n^{2}$.