Pythagoraan kolmikko

Pythagoraan kolmikko on joukko, joka koostuu kolmesta positiivisesta kokonaisluvusta a, b ja c siten, että a² + b² = c². Kolmikko ilmoitetaan yleensä muodossa (a, b, c), ja yksi tällainen esimerkki on (3, 4, 5). Jos (a, b, c) on Pythagoraan kolmikko, myös (ka, kb, kc) on sellainen jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle k.

Pythagoraan kolmikoiden jakautuminen välillä < 4500.

Pythagoraan kolmikon nimi juontuu Pythagoraan lauseesta, jonka ratkaisu jokainen Pythagoraan kolmikko on. Kuitenkaan Pythagoraan lauseen kaikki ratkaisut eivät ole Pythagoraan kolmikoita. Esimerkiksi a = b = 1 ja c = √2 on Pythagoraan lauseen yksi ratkaisu, mutta (1, 1, √2) ei ole Pythagoraan kolmikko, koska √2 ei ole kokonaisluku vaan irrationaaliluku.

Ominaisuuksia

Jokaisessa Pythagoraan kolmikossa a:n ja b:n tulo on 12:lla jaollinen ja kaikkien lukujen tulo 60:llä jaollinen: $ab=12n$ ja $abc=60n$.

Jaottomat Pythagoraan kolmikot

Pythagoraan kolmikko on jaoton, jos a ja b ovat keskenään jaottomia. Seuraavien jaottomien Pythagoraan kolmikoiden hypotenuusa (c) on pienempi kuin 100:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)
(7, 24, 25)	(20, 21, 29)	(12, 35, 37)
(9, 40, 41)	(28, 45, 53)	(11, 60, 61)
(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)
(65, 72, 97)

Jaottomat Pythagoraan kolmikot ovat samat kuin kolmikot $(m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})$, missä m ja n ovat keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, $m>n$ ja toinen niistä on parillinen ja toinen pariton. ($m^{2}-n^{2}$ ja $2mn$ on lajiteltava siten, että pienempi on ensin.)

Muunnelmia

Joukkoa, joka koostuu neljästä positiivisesta kokonaisluvusta a, b, c ja d, jotka ratkaisevat yhtälön a² + b²+ c² = d², kutsutaan Pythagoraan nelikoksi.

Ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat väitti vuonna 1637, ettei ole olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c koostuvaa kolmikkoa, joka ratkaisisi yhtälön aⁿ + bⁿ = cⁿ, missä n on kahta suurempi kokonaisluku. Väittämä tunnetaan Fermat'n suurena lauseena, jonka todisti Andrew Wiles vuonna 1995.

On olemassa neljän positiivisen kokonaisluvun a, b, c ja d joukkoja, jotka ratkaisevat yhtälön a³ + b³+ c³ = d³. Pienin tällainen joukko on (3, 4, 5, 6).

Lähteet

• MathWorld: Pythagorean Triple (englanniksi)