Raja-arvo

Raja-arvo on matematiikassa arvo, jota funktio tai jono "lähestyy", kun muuttuja tai jonon indeksi lähestyy tiettyä arvoa. Raja-arvo kuuluu matematiikan peruskäsitteistöön matemaattisessa analyysissä, lukujonojen teoriassa, differentiaali- ja integraalilaskennassa.

Lukujonon ja sarjan raja-arvo

Pääartikkeli: Lukujonon raja-arvo

Lukujono lähestyy äärettömyydessä arvoa $a$.

Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono hajaantuu.

Lyhyt lukujono (eli äärellinen lukujono) päättyy viimeiseen jäseneensä, jota voidaan pitää samalla sen raja-arvona. Lyhyet jonot suppenevat siis aina. Suppenevilla äärettömillä lukujonoilla peräkkäisten jäsenten erotus pienenee loputtomasti eli lähestyy nollaa. Tämä ei vielä takaa, että lukujono itse suppenee. Lukujonoille on kehitetty useita erilaisia suppenemistarkasteluita.

Lukujono hajaantuu silloin, kun se ei suppene kohti yhtä lukuarvoa. Esimerkiksi lukujonon vuorottaiset jäsenet voivat saada arvokseen kaksi arvoa (esimerkiksi ..., 3, 2, 3, 2, ...), jolloin se "oskilloi" eikä siten suppene. Jono hajaantuu myös silloin, kun jonon jäsenten arvot ovat sitä suurempia, mitä pitemmälle jonossa edetään. Jonon arvot lähestyvät silloin "ääretöntä" ja sen vuoksi jono hajaantuu. Jonon jäsenet voivat myös pienentyä rajatta, jolloin jono hajaantuu kohti "miinus ääretöntä".

Myös sarja eli lukujonon jäsenten summa voidaan ajatella suppenevan. Sillä tarkoitetaan, että lukujonojen jäsenten summaksi saadaan lukuarvo. Yleensä sarjan arvo kasvaa- tai vähenee äärettömäksi ja siksi se hajaantuu. Jos jäsenten arvojen raja-arvo on nolla, on mahdollista, että myös sarjan arvo on äärellinen. Tällöin sarja suppenee.

Funktion raja-arvo

Pääartikkeli: Funktion raja-arvo

Kun $x>S$, funktion $f(x)$ arvo eroaa korkeintaan $\epsilon$:n verran raja-arvosta $L$.

Funktion raja-arvo lasketaan sen määrittelyjoukon sisäpisteessä tutkimalla funktion arvoja sisäpisteen ympäristössä. Jos sen arvot ovat sisäpisteen lähiympäristössä, lähestyttiinpä sitä mistä suunnasta hyvänsä, lähes samat, voidaan ajatella funktion arvojen lähestyvän samaa raja-arvoa kun lähestytään sisäpistettä. Tällöin sanotaan, että funktion arvot suppenevat tuossa sisäpisteessä ja että funktiolla on olemassa kyseisessä sisäpisteessä. Raja-arvoa määritettäessä ei tarvitse edes tuntea funktion arvo sisäpisteessä (se voi puuttua funktion määrittelyjoukosta) ja silti raja-arvo voi olla olemassa. Raja-arvo voidaan määritellä myös tarkasteluvälin reunapisteessä.

Raja-arvo voidaan määritellä lukujonojen tapaan myös funktion määrittelyalueen avoimessa reunassa tai jopa äärettömyydessä. Useampiulotteisessa tapauksessa raja-arvo voidaan määrittää mihin suuntaan hyvänsä ja kuinka kaukan lähtöpisteestä hyvänsä. Ainoa ehto on, että kaukaisuudessa funktion arvot lakkaavat lopulta muuttumasta ja asettuvat tietyyn arvoon.

Muita raja-arvoja

On myös olemassa renkaiden $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ projektiivinen raja-arvo ja topologisten ryhmien muodostaman induktiivisen ja projektiivisen systeemin raja-arvot, jotka ovat topologisia ryhmiä.

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.