Tangentiaalinen nelikulmio

Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.

Tangentiaalisen nelikulmion sivuamispisteet ovat tangentteja ja ne ovat kohtisuorassa säteitä eli korkeusjanoja vastaan.

Tangentiaalisen nelikulmion tangenttien välissä kulmanpuolittaja osuu ympyrän keskipisteeseen.

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl. tangential quadrilateral.

Ominaisuuksia

• Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d),$ missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa $s=a+c=b+d,$ eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä. Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.
• Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.
• Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi $\tan {\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\gamma }{2}}=1$ ja $\tan {\frac {\beta }{2}}\cdot \tan {\frac {\delta }{2}}=1.$
• Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.
• Tällaisen nelikulmion pinta-ala on $A=rs,$ missä $r$ on sisäympyrän säde.
• Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla

$r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}$

$={\sqrt {\frac {bcd+acd+abd+abc}{a+b+c+d}}}$

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Erikoistapauksia

Neliö

Neliö ja sen ympyrät, erilaisia mittoja ja kulmia

Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan

$r={\frac {1}{2}}a$ sekä $R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.$

Neljäkäs

Tangentiaalinen neljäkäs, mittoja ja kulmia

Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli $\beta =90^{\circ }-\alpha$. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten $\alpha =2\gamma$ eli $\gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha$.

Jos päätetään aluksi kulma $\gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha$, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = t_A ja JB = t_B, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun

$a=t_{A}+t_{B}$.

Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista

$t_{A}=r\cot \gamma$ (kolmiosta $\Delta AJO$)

ja

$t_{B}=r\tan \gamma$ (kolmiosta $\Delta OJB$).

Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta

$a=t_{A}+t_{B}=r\cot \gamma +r\tan \gamma =r(\cot \gamma +\tan \gamma )$ eli

$r={\frac {a}{\cot \gamma +\tan \gamma }}$.

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat

$S_{1}^{4}=t_{A}+t_{B}+t_{C}+t_{D}=2t_{A}+2t_{B}=2(t_{A}+t_{B})$,

koska t_A = t_C ja t_B = t_D, ja vielä

$S_{3}^{4}=t_{A}t_{B}t_{C}+t_{B}t_{C}t_{D}+t_{C}t_{D}t_{A}+t_{D}t_{A}t_{B}=2(t_{A}^{2}t_{B}+t_{A}t_{B}^{2})=2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})$.

Neljäkkään sisäympyrän säde riippuu sisäkulman suuruudesta. Suurimmillaan se on kun sisäkulma on suora.

Polynomi saa muodon

$S_{1}^{4}r^{2}-S_{3}^{4}=0$ eli

$2(t_{A}+t_{B})r^{2}-2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})=0$

jonka positiivinen juuri on

$r={\sqrt {\frac {2t_{A}t_{B}{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}{2{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}}}={\sqrt {t_{A}t_{B}}}$.

Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun $t_{A}=t_{B}={\tfrac {1}{2}}a$.

Katso myös

• Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
• Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
• Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

Lähteet

• Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197–206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623 Artikkelin verkkoversio. (pdf) Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)