Trigonometriset integraalit

Trigonometriset integraalit ovat joukko trigonometrisia funktioita sisältäviä integraaleja, joita ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja siksi niitä pidetään omina funktioinaan.

Sini-integraali

Sini-integraali

Sini-integraali (engl. sine integral) määritellään

$\mathrm {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt$.

Tätä funktiota vastaava Taylorin sarjakehitelmä on

$\mathrm {Si} (x)={\frac {x}{1\cdot 1!}}-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}}x^{2k+1}$,

missä $!$ tarkoittaa kertomaa. Sini-integraali on pariton funktio, sillä

$\mathrm {Si} (-x)=-\mathrm {Si} (x)\,$.

Kosini-integraali

Kosini-integraali

Kosini-integraali (engl. cosine integral) muistuttaa jonkin verran edellistä:

$\mathrm {Ci} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös integraalina nollasta $x$:ään

$\mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}dt$,

missä $\gamma$ on Eulerin–Mascheronin vakio ja arvoltaan likimain 0,57721. Kosini-integraalifunktiota ei vastaa varsinainen Taylorin sarja, mutta jälkimmäisen esitysmuodon integraalille voidaan kirjoittaa sarjakehitelmä

$\mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}-{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}+{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}-{\frac {x^{8}}{8\cdot 8!}}+\ldots =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{2k(2k)!}}$.

Katso myös

• eksponentti-integraali
• sinc-funktio

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9

Aiheesta muualla

• Mathworld: Sini-integraali (englanniksi)
• Mathworld: Kosini-integraali (englanniksi)