Yhtenevyys

Kahden geometrisen kuvion yhtenevyys eli kongruenssi ^[1] tarkoittaa sitä, että kuviot ovat mitoiltaan samanlaiset ja muodoltaan joko samanlaiset tai toistensa peilikuvat^[2]. Tällöin kuvioiden vastaavat janat ovat yhtä pitkät ja vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.^[3] Kuvioiden sijainti tai asento ei vaikuta yhteneväisyyteen. Alkeellinen yhtenevyystesti voidaan suorittaa kopioimalla toinen kuvio läpinäkyvälle kalvolle ja siirtämällä se vastinkuvion päälle, jolloin päällimmäinen kuvio peittää alimmaisen täysin eli kuviot yhtyvät toisiinsa (Eukleidesin perustelu).^[3] Yksinkertaisesti sanoen niillä on sama koko ja sama muoto. Kuvioiden $\scriptstyle A$ ja $\scriptstyle B$ yhtenevyys merkitään $\scriptstyle A\cong B$ .^[4]

Yhtenevyystesti, jossa kuviot siirretään päällekkäin, voidaan matematisoida suorittamalla toiselle kuviolle isometrioiden sarja. Isometria on kuvaus, jossa kuvio kuvataan uuteen paikkaan siten, että kaikki pituudet säilyvät samoina. On todettu, että kolmen erilaisen isometrian käyttäminen riittää kaikissa tapauksissa todentamaan kuvioiden yhtenevyyden. Nämä ovat siirtäminen eli translaatio ^[5], peilaaminen ^[6] ja kiertäminen eli rotaatio ^[7].^[4]^[8]^[9]

Käytetään kolme isometristä muunnosta kuvioiden vertaamiseen. Valkoinen mustaviivainen kuvio on vertailun kohde, johon punaista verrataan.
Punainen esittää peilaamisen lopputulosta, kun alkuperäinen pisteviivoin hahmoteltua kuviota peilataan janan suhteen.
Punainen esittää hieman käännettyä kuviota, jolloin se olisi verrattavan kuvion kanssa samassa asennossa.
Siirretään kuvio verrattavan kuvion päälle (punainen). Koska kuviot yhtyvät täysin, ovat ne keskenään yhtenevät.

Yhtenevyydestä johtuen kuviot ovat asentoja lukuun ottamatta muodoltaan ja ominaisuuksitaan identtiset. Tällöin muun muassa sekä kuvion janat että niiden väliset kulmat ovat identtiset.^[1] Yhtenevyyden toteaminen on erityisen hyödyllistä analysoitaessa kuvioiden keskinäisiä lainalaisuuksia. Toisaalta, aksiomaattisen geometrian kannalta yhtenevyys vaatii lukuisia aksioomeja, jotta sitä voitaisiin ylipäätään käyttää muodostamaan geometrian tietorakenteita.^[10]

Yhtenevyys

Triviaalit yhtenevyydet

Monet säännölliset kuviot ovat keskenään yhtenevät, mikäli yksi niiden ominaisuus on yhtäpitkä. Kaksi ympyrää, joilla on sama säde, ovat yhtenevät. Säteen sijasta minkä tahansa muun osan pituudet riittävät. Kaikki tasasivuiset kolmiot, joilla on sivu, tai jokin muu vastinosa, yhtä pitkät, ovat yhtenevät. Sama koskee neliöitä ja muita säännöllisiä monikulmioita.

Avaruusgeometriassa säännöllisten kappaleiden, kuten pallot, kuutiot, tetraedrit, jne. ovat yhtenevät, jos niiden eräs vastinkohta on molemmissa kappaleissa samanpituinen.

Monikulmioiden yhtenevyys

Yhtenevyys voidaan todeta myös käyttämättä isometrisiä kuvauksia, kun tarkastellaan esimerkiksi monikulmioita. Ensin verrataan molempia kuvioita, jotta löydetään vastinpisteet, -janat ja -kulmat. Yhtenevissä kuvioissa vastinosat ovat kummassakin kuviossa vastaavassa tehtävässä. Jos vastinjanojen väliset kulmat ovat kaikki yhtä suuret ja vastinjanat yhtäpitkät, ovat kuviot yhtenevät.^[4]

Kolmioiden yhtenevyys

Jos kahdessa kolmiossa on vähintään kolme yhtä suurta, toisiaan vastaavaa osaa, sivua tai kulmaa, eivätkä ne kaikki ole kulmia, ovat loputkin osat yhtä suuria eli kolmiot ovat yhtenevät. Näistä yhtenevyyslauseista käytetään lyhenteitä, joissa S tarkoittaa sivua ja K kulmaa:

SKS: Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]^[11]
SSS: Jos kahdessa kolmiossa kaikki toisiaan vastaavat sivut ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]^[11]
KSK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]^[11]
SKK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]^[11]
SSK: Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma ovat yhtä suuret ja lisäksi kyseinen kulma on tylppä, ovat kolmiot yhtenevät. (Jos kyseinen kulma on terävä, on olemassa yleensä kaksi erilaista kolmiota, joilla nämä vastinosat ovat yhtä suuret.)^[11]

Nämä säännöt voidaan yhdistää yhdeksi lauseeksi: Jos kolmoista tiedetään mitkä tahansa kolme kulmaa tai sivua (ei kuitenkaan pelkästään kolme kulmaa) olevan samat myös toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.^[11]

SSS-yhtenevyydellä on suuri merkitys tekniikassa, sillä se tekee kolmiosta jäykän kappaleen: kolmio, jonka sivut ovat jäykät, säilyttää muotonsa vaikka kulmat eivät olisi jäykkiä. Millään muulla monikulmiolla ei ole tätä ominaisuutta. Tähän perustuvat muun muassa rakennustekniikassa käytettävät ristikko- ja vinotukirakenteet.

Muitakin yhtenevyyden toteavia sääntöjä on. Esimerkiksi

SMS: Jos kolmion samasta kärjestä lähtevät sivut ja niiden välinen mediaani ovat yhtä pitkät kuin vastaavat janat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]
HHH: Jos kolmion korkeusjanat ovat yhtä pitkät kuin toisessa kolmiossa, ovat kolmion yhtenevät.^[3]
MMM: Jos kolmion mediaanit eli keskijanat ovat yhtä pitkät kuin toisessakin kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]
PPP: Jos kolmion kulmien kulmanpuolittajat ovat yhtä pitkät kuin toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.^[3]

Katso myös

Yhdenmuotoisuus

Lähteet

Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 17.4.2013).
Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) docplayer.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 17.4.2013.
Tilvis, Ville; Vesalainen, Esa; Hirviniemi, Olli; Koski, Aleksis & Talvitie, Topi: Klassinen Geometria mayk.fi. marraskuu 2015. Viitattu 28.3.2019.

Viitteet

↑ ^a ^b Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 9
↑ Tilvis, Ville et al.: Klassinen Geometria s. 57
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 10–12
↑ ^a ^b ^c Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 29–31
↑ Weisstein, Eric W.: Translation (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Reflection (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Rotation (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Geometric Congruence (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Weisstein, Eric W.: Isometry (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 3
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 35–40

Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6

[harju9-1] Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 9

[mauk-2] Tilvis, Ville et al.: Klassinen Geometria s. 57

[harju10-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 10–12

[vaisala29-4] Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 29–31

[Translation-5] Weisstein, Eric W.: Translation (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Reflection-6] Weisstein, Eric W.: Reflection (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Rotation-7] Weisstein, Eric W.: Rotation (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[GeometricCongruence-8] Weisstein, Eric W.: Geometric Congruence (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[Isometry-9] Weisstein, Eric W.: Isometry (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[harju3-10] Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 3

[vaisala35-11] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 35–40

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]