Geometria

Geometria (kreik. γεωμετρία, maanmittaus) on matematiikan ala, joka tutkii kuvioita ja kappaleita ja niiden ominaisuuksia. Vanha suomen kielen nimitys on mittausoppi. Suomalaisessa kouluopetuksessa geometria oli 1970-luvulle saakka oma oppiaineensa algebran (sekä laskennon eli aritmetiikan) ohella. Peruskoulu-uudistuksessa syntyi yhtenäinen matematiikkaoppiaine, jolloin geometrian osuus pieneni merkittävästi.

René Descartes: La Geometrie (1637).

Axel Helsted, "Geometria"

Historia

Geometrian varhaisia merkittäviä tekstejä oli Eukleideen noin vuonna 300 eaa. kirjoittama oppikirja Alkeet. Teos koostuu 13 kirjasta, joissa käsitellään euklidista geometriaa ja aikakauden lukuteoriaa. 1600-luvun alkupuolella René Descartes ja Pierre de Fermat kehittivät analyyttisen geometrian. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski kehitti 1800-luvun alussa epäeuklidisen geometrian, jossa euklidisen geometrian viides aksiooma ei pitänyt paikkaansa. 1800-luvun aikana geometrian edistykseen vaikuttivat myös analyysin ja differentiaaligeometrian parissa työskennellyt Bernhard Riemann ja algebrallisen topologian luoja Henri Poincaré.

Babylonialaiset, egyptiläiset, intialaiset ja kiinalaiset käyttivät apunaan geometriaa jo paljon ennen ajanlaskumme alkua. Järjestelmälliseksi geometria kehittyi Kreikassa. Sieltä on myös peräisin sana geometria, joka tarkoittaa maanmittausta.

Paralleeliaksiooma

Geometrian kehitystä antiikista 1800-luvun alkupuolelle väritti tasogeometrian paralleeliaksiooman ongelma. Euklidinen paralleeliaksiooma kuuluu seuraavasti:

suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora.

Aksiooman uskottiin mahdollisesti seuraavan muista Eukleideen aksioomista, jolloin se olisi turha ja sen voisi jättää aksioomaluettelosta pois. Yritykset johtaa paralleeliaksioomaa muista aksioomista käsin olivat kuitenkin turhia. Paralleeliaksiooma on riippumaton tasogeometrian aksioomista — sitä ei siis edes voi todistaa tai kumota. Tämän osoittivat 1820-luvulla, ilmeisesti toisistaan riippumatta, Carl Gauss, János Bolyai ja Nikolai Lobatševski.

Paralleeliaksiooman riippumattomuus antoi mahdollisuuden tutkia uudenlaisia geometrioita, joissa hylätään euklidinen paralleeliaksiooma ja oletetaan jokin sen kanssa ristiriitainen paralleeliominaisuus. Esimerkkeinä näistä vaihtoehtoisista paralleeliominaisuuksista ovat hyperbolinen paralleeliaksiooma

suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee vähintään kaksi suoran kanssa yhdensuuntaista suoraa

ja elliptinen paralleeliaksiooma

yhdensuuntaisia suoria ei ole.

Geometrioita, joissa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus, kutsutaan epäeuklidisiksi geometrioiksi. Euklidista geometriaa on perinteinen euklidisen paralleeliaksiooman olettava geometria.

Jaottelu

Geometria voidaan jakaa esimerkiksi seuraavasti tutkittujen kohteiden ja käytettyjen menetelmien perusteella:

• Tasogeometria – kaksiulotteinen geometria
• Avaruusgeometria – kolmiulotteinen geometria
• Euklidinen geometria – geometria, jossa oletetaan euklidinen paralleelipostulaatti; esimerkiksi koulusta tuttu taso- ja avaruusgeometria
• Epäeuklidinen geometria – geometria, jossa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus; esimerkiksi geometria pallon pinnalla
• Analyyttinen geometria – koordinaatistoon sijoitettujen kuvioiden ja kappaleiden analysointia yhtälöiden ja epäyhtälöiden avulla

Trigonometriasta on apua monien geometristen ongelmien numeeriseen ratkaisemiseen.

Käsitteitä

Geometrian peruskäsitteitä ovat muun muassa piste, suora, taso, avaruus, ympyrä, ellipsi, kolmio, neliö, pallo, lieriö, kartio, säännöllinen monitahokas, käyrä, pinta, kappale, kulma, pituus, pinta-ala ja tilavuus.

Aiheesta muualla

• Matematiikan etäopiskeluympäristö, Geometria. Opetus.tv.
• Gray, Jeremy: Epistemology of Geometry The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Kurittu, Lassi & Hokkanen, Veli-Matti & Kahanpää, Lauri: Geometria. Lassi Kurittu ja Jyväskylän yliopisto. (PDF)