Shefferin viiva

Shefferin viiva on propositiologiikassa konnektiivi, jolla on seuraavanlainen totuusarvotaulukko: (Shefferin viiva merkitään symbolilla |.)

$\,\!A$	$B\,\!$	$(A|B)\,\!$
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Toisin sanoen Shefferin viivalla muodostettu yhdistetty lause on epätosi vain, jos sillä yhdistetyt lauseet ovat molemmat tosia, kaikissa muissa tapauksissa tosi. Se tarkoittaa siis normaalissa kielessä samaa kuin "ei molemmat". Se on nimetty yhdysvaltalaisen loogikon Henry M. Shefferin mukaan.

Elektroniikassa Shefferin viivaa vastaava looginen portti on NAND-portti.

Shefferin viivan universaalisuus

Shefferin viiva on universaali konnektiivi. Toisin sanoen joukko $\{|\}$ on universaalinen.

Todistus

Koska $\{\lnot ,\land \}$ on universaali joukko konnektiiveja, niin riittää osoittaa, että konnektiivit $\lnot$ ja $\land$ voidaan määritellä konnektiivin $|$:n avulla.

Olkoot $A$ ja $B$ mielivaltaisia propositiolauseita.

Shefferin viivan määritelmän nojalla $v(A|A)=0$ jos ja vain jos $v(A)=1$. Täten $f_{A|A}=f_{\lnot A}$.

Shefferin viivan määritelmän nojalla $v(A|B)=0$ jos ja vain jos $v(A)=v(B)=1$. Edellisen kappaleen nojalla $v((A|B)|(A|B))=1$ jos ja vain jos $v(A|B)=0$. Täten $v((A|B)|(A|B))=1$ jos ja vain jos $v(A)=v(B)=1$, joten $f_{(A|B)|(A|B)}=f_{A\land B}$.

Osoitettiin siis, että konnektiivit $\lnot$ ja $\land$ voidaan määritellä konnektiivilla $|$. Täten joukko $\{|\}$ on universaalinen. $\square$

Katso myös

• Peircen nuoli