Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi. Siten A on symmetrinen jos

$A^{\textrm {T}}=A\,$,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (a_ij), on

$a_{ij}=a_{ji}\,$

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&-4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

$A^{T}=-A\,$.

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

1. Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
2. Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
3. Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ ortonormaali kanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).