Weierstrassin lause

Weierstrassin lause (myös Weierstrassin min-max-lause) on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon.

Olkoon $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että väliltä $[a,b]$ löytyy luvut $c$ ja $d$ siten, että kaikilla pisteillä $x\in [a,b]$ funktion arvo pysyy arvojen $f(c)$ ja $f(d)$ välissä. Matemaattisesti

On olemassa luvut $c\in [a,b]$ ja $d\in [a,b]$ siten, että kaikilla $x\in [a,b]$ pätee $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$.

Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.

Todistus

Todistetaan, että löydetään suurin arvo kuten edellä määritelty. Pienin arvo löydetään vastaavalla tavalla, kun tutkitaan funktiota $-f$.

Merkitään $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ ja $\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} \setminus \{0\}$.

Väite: $f$ on rajoitettu välillä $[a,b]$.

Tehdään vastaoletus: $f$ ei ole rajoitettu välillä $[a,b]$. Tällöin kaikilla $n\in \mathbb {N} _{0}$ on olemassa $x_{n}\in [a,b]$, jolla $|f(x_{n})|\geq n$. Koska lukujono $(x_{n})$ on rajoitettu, niin Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla lukujonolla $(x_{n})$ on suppeneva osajono $(x_{n_{k}})$ eli $x_{n_{k}}\to x_{0}$ kun $k\to \infty$. Koska $a\leq x_{n_{k}}\leq b$ kaikilla $k\in \mathbb {N} _{0}$, niin $a\leq x_{0}\leq b$.

Koska $f$ on jatkuva pisteessä $x_{0}$, niin on olemassa $\delta >0$ siten, että $|f(x)-f(x_{0})|<1$, kun $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\cap [a,b]$. Koska $x_{n_{k}}\to x_{0}$, kun $k\to \infty$, niin on olemassa $k_{0}$ siten, että $|x_{n_{k}}-x_{0}|<\delta$, kun $k\geq k_{0}$. Näillä $k$ pätee $|f(x_{n_{k}})-f(x_{0})|<1$. Mutta koska $|f(x_{n_{k}})|\geq n_{k}$ ja koska $n_{k}\to \infty$, kun $k\to \infty$, niin saadaan ristiriita. Täten väite pätee.

Koska $f$ on rajoitettu välilä $[a,b]$, joten on olemassa $\sup\{f(x)\mid x\in [a,b]\}$. Merkitään $M=\sup\{f(x)\mid x\in [a,b]\}$. Nyt on osoitettava vielä $f(x)=M$ jollakin $x\in [a,b]$.

Pienimmän ylärajan määritelmän nojalla kaikilla $n\in \mathbb {N} _{1}$ on olemassa $y_{n}\in [a,b]$, jolle $f(y_{n})>M-1/n$. Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla lukujonolla $(y_{n})$ on olemassa suppeneva osajono $(y_{n_{k}})$, jolla $y_{n_{k}}\to y_{0}$, kun $k\to \infty$. Funktion $f$ jatkuvuuden nojalla $f(y_{n_{k}})\to f(y_{0})$, kun $k\to \infty$. Tällöin $M\geq f(y_{n_{k}})>M-1/n_{k}\geq M-1/k$, mistä seuraa kuristusperiaatteen nojalla $f(y_{0})=M$. $\square$

Lähteet

• Harjulehto, P., Klén, R. & Koskenoja, M.: ”4.3. Funktion suurin ja pienin arvo”, Analyysia reaaliluvuilla, s. 87–93. (6., uudistettu painos) Turku & Helsinki: Gaudeamus Oy, 2023. ISBN 978-952-345-249-7

Aiheesta muualla

• Extreme value theorem (cut-the-knot) (englanniksi)