En géométrie , la cubique de Tschirnhausen est une courbe algébrique définie par l'équation polaire
Cubique de Tschirnhausen, pour a =1
r
=
a
sec
3
(
θ
/
3
)
.
{\displaystyle r=a\sec ^{3}(\theta /3).}
(sec est la fonction sécante , inverse du cosinus )
Posons t = tan(θ /3)formule de De Moivre , cela donne :
x
=
a
cos
(
θ
)
sec
3
(
θ
3
)
=
a
[
cos
3
(
θ
3
)
−
3
cos
(
θ
3
)
sin
2
(
θ
3
)
]
sec
3
(
θ
3
)
=
a
[
1
−
3
tan
2
(
θ
3
)
]
=
a
(
1
−
3
t
2
)
,
{\displaystyle x=a\cos(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[\cos ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)-3\cos \left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[1-3\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=a(1-3t^{2}),}
y
=
a
sin
(
θ
)
sec
3
(
θ
3
)
=
a
[
3
cos
2
(
θ
3
)
sin
(
θ
3
)
−
sin
3
(
θ
3
)
]
sec
3
(
θ
3
)
=
a
[
3
tan
(
θ
3
)
−
tan
3
(
θ
3
)
]
=
a
t
(
3
−
t
2
)
.
{\displaystyle y=a\sin(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\sin ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\tan \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\tan ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=at(3-t^{2}).}
ce qui donne une équation paramétrique . Le paramètre t peut être facilement éliminé, ce qui donne l'équation cartésienne
27
a
y
2
=
(
a
−
x
)
(
8
a
+
x
)
2
{\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}
Si la courbe est translatée horizontalement de 8a , les équations deviennent
x
=
3
a
(
3
−
t
2
)
,
y
=
a
t
(
3
−
t
2
)
{\displaystyle x=3a(3-t^{2})\ ,\ y=at(3-t^{2})}
ou
x
3
=
9
a
(
x
2
−
3
y
2
)
{\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}
ce qui donne la forme polaire
r
=
9
a
sec
(
θ
)
(
1
−
3
tan
2
θ
)
{\displaystyle r=9a\sec(\theta )\left(1-3\tan ^{2}\theta \right)}
Caustique de parabole. Seuls les rayons réfléchis sont représentés. La direction des rayons incidents (non représentés) est donnée par celle de la tangente commune à la parabole et à la caustique, en noir. Les rayons réfléchis sur la gauche de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la droite, ceux réfléchis sur la droite de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la gauche. Les caustiques de parabole, lorsque la source lumineuse est à l'infini, sont des cubiques de Tschirnhausen. Elle est réduite à un point, le foyer de la parabole, lorsque la direction de la source est l'axe de la parabole.
![{\displaystyle x=a\cos(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[\cos ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)-3\cos \left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[1-3\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=a(1-3t^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
![{\displaystyle y=a\sin(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\sin ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\tan \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\tan ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=at(3-t^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
