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Pour une k -forme
ω
=
f
d
x
i
1
∧
.
.
.
∧
d
x
i
k
{\displaystyle \omega =f{\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}}
n
d
ω
=
d
f
∧
d
x
i
1
∧
.
.
.
∧
d
x
i
k
=
∑
j
=
1
n
∂
f
∂
x
j
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
.
.
.
∧
d
x
i
k
.
{\displaystyle {\rm {d}}{\omega }={\rm {d}}f\wedge {\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}{\rm {d}}x_{j}\wedge {\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}.}
En particulier, pour une 0-forme (i.e. une fonction)
f
{\displaystyle f}
d
f
=
∑
j
=
1
n
∂
f
∂
x
j
d
x
j
{\displaystyle {\rm {d}}{f}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}{\rm {d}}x_{j}}
Pour une 1-forme sur ℝ2 ,
ω
=
P
d
x
+
Q
d
y
,
{\displaystyle \omega =P{\rm {d}}x+Q{\rm {d}}y,}
on a :
d
ω
=
d
P
∧
d
x
+
d
Q
∧
d
y
=
(
∂
P
∂
x
d
x
+
∂
P
∂
y
d
y
)
∧
d
x
+
(
∂
Q
∂
x
d
x
+
∂
Q
∂
y
d
y
)
∧
d
y
=
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
∧
d
y
,
{\displaystyle {\rm {d}}\omega ={\rm {d}}P\land {\rm {d}}x+{\rm {d}}Q\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial P}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right){\rm {d}}x\wedge {\rm {d}}y,}
ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green .
La différentielle extérieure commute au pullback , c'est-à-dire que pour toute application différentiable f : M → N ω sur N f *(dω) = d(f *ω)
Étant donné
ω
{\displaystyle \omega }
k champs vectoriels arbitraires lisses
V
0
,
V
1
,
.
.
.
,
V
k
{\displaystyle V_{0},V_{1},...,V_{k}}
d
ω
(
V
0
,
V
1
,
.
.
.
V
k
)
=
∑
i
(
−
1
)
i
V
i
ω
(
V
0
,
.
.
.
,
V
^
i
,
.
.
.
,
V
k
)
{\displaystyle d\omega (V_{0},V_{1},...V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})}
+
∑
i
<
j
(
−
1
)
i
+
j
ω
(
[
V
i
,
V
j
]
,
V
0
,
.
.
.
,
V
^
i
,
.
.
.
,
V
^
j
,
.
.
.
,
V
k
)
{\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,{\hat {V}}_{j},...,V_{k})}
où
[
V
i
,
V
j
]
{\displaystyle [V_{i},V_{j}]\,\!}
crochet de Lie et
ω
(
V
0
,
.
.
.
,
V
^
i
,
.
.
.
,
V
k
)
=
ω
(
V
0
,
.
.
.
,
V
i
−
1
,
V
i
+
1
.
.
.
,
V
k
)
.
{\displaystyle \omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})=\omega (V_{0},...,V_{i-1},V_{i+1}...,V_{k}).}
En particulier, pour les 1-formes :
d
ω
(
X
,
Y
)
=
X
(
ω
(
Y
)
)
−
Y
(
ω
(
X
)
)
−
ω
(
[
X
,
Y
]
)
{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}
et pour les 2-formes :
d
ω
(
X
,
Y
,
Z
)
=
X
(
ω
(
Y
,
Z
)
)
−
Y
(
ω
(
X
,
Z
)
)
+
Z
(
ω
(
X
,
Y
)
)
−
ω
(
[
X
,
Y
]
,
Z
)
+
ω
(
[
X
,
Z
]
,
Y
)
−
ω
(
[
Y
,
Z
]
,
X
)
.
{\displaystyle d\omega (X,Y,Z)=X(\omega (Y,Z))-Y(\omega (X,Z))+Z(\omega (X,Y))-\omega ([X,Y],Z)+\omega ([X,Z],Y)-\omega ([Y,Z],X).}
La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.
Pour une 0-forme sur ℝn
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
.
{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}.}
Alors
d
f
(
V
)
=
⟨
g
r
a
d
f
,
V
⟩
,
{\displaystyle df(V)=\langle \mathrm {grad} \ f,V\rangle ,}
où
g
r
a
d
f
{\displaystyle \mathrm {grad} \ f}
gradient de f
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
produit scalaire .
Pour une 1-forme
ω
=
ω
x
d
x
+
ω
y
d
y
+
ω
z
d
z
{\displaystyle \omega =\omega _{x}dx+\omega _{y}dy+\omega _{z}dz}
3 (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs ),
d
ω
=
(
∂
ω
y
∂
x
−
∂
ω
x
∂
y
)
d
x
∧
d
y
+
(
∂
ω
z
∂
y
−
∂
ω
y
∂
z
)
d
y
∧
d
z
+
(
∂
ω
x
∂
z
−
∂
ω
z
∂
x
)
d
z
∧
d
x
.
{\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial \omega _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \omega _{x}}{\partial y}}\right)dx\wedge dy+\left({\frac {\partial \omega _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \omega _{y}}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial \omega _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega _{z}}{\partial x}}\right)dz\wedge dx.}
Grâce au produit vectoriel sur ℝ3 , on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs
rot
→
ω
{\displaystyle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega }
rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge )
d
ω
(
a
→
,
b
→
)
=
⟨
rot
→
ω
,
a
→
∧
b
→
⟩
{\displaystyle d\omega ({\vec {a}},{\vec {b}})={\displaystyle \langle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega ,{\vec {a}}\wedge {\vec {b}}\rangle }}
où
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
produit scalaire et
a
→
∧
b
→
{\displaystyle {\vec {a}}\wedge {\vec {b}}}
produit vectoriel . On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel
rot
→
ω
=
(
∂
ω
y
∂
x
−
∂
ω
x
∂
y
)
e
z
→
+
(
∂
ω
z
∂
y
−
∂
ω
y
∂
z
)
e
x
→
+
(
∂
ω
x
∂
z
−
∂
ω
z
∂
x
)
e
y
→
.
{\displaystyle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega =\left({\frac {\partial \omega _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \omega _{x}}{\partial y}}\right){\vec {e_{z}}}+\left({\frac {\partial \omega _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \omega _{y}}{\partial z}}\right){\vec {e_{x}}}+\left({\frac {\partial \omega _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega _{z}}{\partial x}}\right){\vec {e_{y}}}.}
Le fait que le rotationnel ainsi défini (comme le dual de Hodge de la dérivée extérieure du champ de vecteurs identifié à une 1-forme) s'identifie à un vecteur est propre à la dimension 3. De façon générale, ce n'est pas le cas, en particulier en dimension 4, le "rotationnel" ainsi défini est un objet (une 2-forme) de dimension 6, que l'on ne peut donc pas identifier à un vecteur (de dimension 4). Il n'y a pas de généralisation du rotationnel en dimension autre que 3.
Pour une 2-forme
ω
=
∑
i
,
j
h
i
,
j
d
x
i
∧
d
x
j
,
{\displaystyle \omega =\sum _{i,j}h_{i,j}\,dx_{i}\wedge \,dx_{j},}
d
ω
=
∑
i
,
j
,
k
∂
h
i
,
j
∂
x
k
d
x
k
∧
d
x
i
∧
d
x
j
.
{\displaystyle d\omega =\sum _{i,j,k}{\frac {\partial h_{i,j}}{\partial x_{k}}}dx_{k}\wedge dx_{i}\wedge dx_{j}.}
En trois dimensions, avec
ω
=
p
d
y
∧
d
z
+
q
d
z
∧
d
x
+
r
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \omega =p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy}
d
ω
=
(
∂
p
∂
x
+
∂
q
∂
y
+
∂
r
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
=
div
V
d
x
∧
d
y
∧
d
z
,
{\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz={\mbox{div}}Vdx\wedge dy\wedge dz,}
où V est un champ vectoriel defini par
V
=
[
p
,
q
,
r
]
.
{\displaystyle V=[p,q,r].}
De façon générale (en dimension n quelconque), on peut définir un analogue de la divergence d'un champ de vecteurs
V
→
∈
R
n
{\displaystyle {\vec {V}}\in \mathbb {R} ^{n}}
ω
{\displaystyle \omega }
d
ω
=
d
i
v
V
→
v
o
l
{\displaystyle \mathrm {d} \omega =\mathrm {div} {\vec {V}}\ \mathrm {vol} }
soit encore
d
i
v
V
→
=
⟨
d
ω
,
v
o
l
⟩
{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {V}}=\langle \mathrm {d} \omega ,\mathrm {vol} \rangle }
v
o
l
=
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle \mathrm {vol} =\mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n}}
forme volume canonique.
À l'aide des redéfinitions ci-dessus, les formules suivantes sont une simple conséquence de
d
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
r
o
t
→
(
g
r
a
d
→
)
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {grad} }})={\vec {0}}}
d
i
v
(
r
o
t
→
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\overrightarrow {\mathrm {rot} }})=0}
En notant
Ω
k
(
R
3
)
{\displaystyle \Omega _{k}(\mathbb {R} ^{3})}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Ω
0
(
R
3
)
⟶
d
Ω
1
(
R
3
)
⟶
d
Ω
2
(
R
3
)
⟶
d
Ω
3
(
R
3
)
{\displaystyle \Omega _{0}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{1}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{2}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{3}(\mathbb {R} ^{3})}
La première flèche correspond au gradient, la seconde au rotationnel, la troisième à la divergence:
Ω
0
(
R
3
)
⟶
g
r
a
d
Ω
1
(
R
3
)
⟶
r
o
t
Ω
2
(
R
3
)
⟶
d
i
v
Ω
3
(
R
3
)
{\displaystyle \Omega _{0}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {grad} }{\longrightarrow }}\Omega _{1}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {rot} }{\longrightarrow }}\Omega _{2}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {div} }{\longrightarrow }}\Omega _{3}(\mathbb {R} ^{3})}
(fr) Henri Cartan, Formes différentielles , Hermann, 1967 plusieurs rééditions, la dernière en 2007 
![{\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,{\hat {V}}_{j},...,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926c3d5d4fbc6e3edd147045365241e1342ac947)
![{\displaystyle [V_{i},V_{j}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66193acef873eb0f8d0dd776cb6fc32dd4d6d07)
![{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c3a22915a42e9a1a708716b6aa3ff84d40a7f2)
![{\displaystyle d\omega (X,Y,Z)=X(\omega (Y,Z))-Y(\omega (X,Z))+Z(\omega (X,Y))-\omega ([X,Y],Z)+\omega ([X,Z],Y)-\omega ([Y,Z],X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b1069c33b35231a4440af5a819f2fe54663e75)
![{\displaystyle V=[p,q,r].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c3ef7d7f9bdae6a85ec15436e628a98a48ff45)
