Erreur circulaire probable

L'erreur circulaire probable (circular error probability, CEP) à x % est le rayon du cercle à l'intérieur duquel se trouvent x % des valeurs d'un échantillon de mesure bidimensionnelle. On note ce pourcentage en indice (par exemple, CEP à 20 %: ${CEP}_{20}$). C'est un indicateur couramment utilisé pour spécifier la précision des tirs balistiques militaires, ou pour le positionnement par GPS.

Exemple d'erreur circulaire probable avec 20 points.

Lorsque la probabilité n'est pas spécifiée, c'est l'écart circulaire probable (ECP) à 50 % qui est donnée. Ce terme est essentiellement utilisé pour exprimer la caractéristique de la précision d’un missile ou d’un projectile, généralement un missile sol-sol, air-sol ou mer-sol longue portée utilisée comme facteur pour la détermination de l’efficacité probable d’une arme sur son objectif. La définition du AAP-21, le glossaire OTAN de termes et définitions d'arme nucléaire, radiologique, bactériologique et chimique, est celle-ci : L’écart circulaire probable se définit comme le rayon du cercle à l’intérieur duquel tomberaient 50 pour cent des projectiles ou des missiles .

Par exemple, le positionnement par GPS joint au système EGNOS permet d'avoir une précision de 3 m CEP. Cela signifie que l'erreur entre la position mesurée et la position réelle est inférieure à 3 m dans 50 % des cas.

Si un vecteur aléatoire bidimensionnel $\left(X,Y\right)$, dont les composantes sont indépendantes, est régi par une loi normale centrée $N\left(0,\Phi \right)$, où $\Phi$ est la matrice de variance-covariance, on peut définir la CEP de manière générale par la formule suivante :

$P_{\rho }={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\det \left(\Phi \right)}}}}\iint _{x^{2}+y^{2}<\rho ^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\left(x,y\right)\Phi ^{-1}\left(x,y\right)^{T}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

où $P_{\rho }$ est la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur $\left(x,y\right)$ située à l'intérieur du cercle de rayon $\rho$.

La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur à l'intérieur du cercle de rayon 2CEP est de 93,8 %, et 99,8 % pour un rayon de 3CEP.

Dans le cas d'une distribution normale centrée bidimensionnelle avec les deux variances égales à $\sigma ^{2}$, on a la relation suivante :

$P_{\rho }=1-e^{-\rho ^{2}/{2\sigma ^{2}}}$

La CEP se calcule alors en fonction de la variance :

$CEP=\sigma {\sqrt {2\ln {2}}}\approx 1,1774\sigma$